Anwendung der Ansdelinnngslehre 
auf die allgemeine Theorie der Eaumkuryen nnd krummen Flächen. 
Dritter Teil: Krumme Flächen. Zweite Hälfte. 
Neunter Abschnitt. 
Krtimmungslinien. Konjugierte Richtungen. 
Bei der Behandlung der Normalschnitte einer Fläche wurde gezeigt, dafs es für jeden 
Punkt einer krummen Fläche zwei zu einander senkrechte Richtungen giebt, in denen die 
Normalschnittskrümmung ihren grellsten und kleinsten Wert erreicht. Geht man daher von einem 
beliebigen Punkte x der Fläche in der Richtung der gröfsten (oder kleinsten) Krümmung auf 
der Fläche um ein unendlich kleines Stück dx fort bis zu einem Punkte x t = x + dx und von 
diesem Punkte wiederum in der Richtung der gröfsten (oder kleinsten) Krümmung um das 
Stück dx 1 bis zum Punkte x 2 = x l -\-dx 1 u. s. w., so wird man auf der Fläche zwei Kurven 
erhalten, welche sich im Punkte x senkrecht schneiden und an jeder Stelle die Richtung eines 
Hauptschnittes anzeigen. Läfst man dann ferner den Punkt x seine Lage auf der Fläche ver 
ändern und wiederholt für jede neue Lage die obige Kurvenkonstruktion, so erhält man ein Netz 
von zwei Scharen sich rechtwinklig durchschneidender Kurven, welche überall die Richtung des 
Maximums oder Minimums der Normalschnittskrümmung angeben. Man nennt diese Kurven 
die Krümmungslinien der Fläche, das von ihnen gebildete Netz das Krümmungsnetz. 
Eine Reihe von Eigenschaften der Krümmungslinien lassen sich unmittelbar aus den 
Eigenschaften der Hauptschnitte ableiten. Wie oben (vgl. S. 53 und 54) gezeigt wurde, tritt ein 
Maximum oder Minimum der Krümmung für solche und nur für solche Normalschnitte eines 
Punktes der Fläche ein, für welche die Flächennormale jenes Punktes von der im Nachbarpunkte 
des Normalschnitts errichteten Flächennormale geschnitten wird. Aus dieser Eigenschaft der 
Hauptschnitte entnimmt man die folgenden beiden Sätze für die Krümmungslinien: 
Je zwei Flächennormalen, die man in zwei Nachbarpunkten einer Krümmungs 
linie errichtet, schneiden sich, 
und die Umkehrung: 
Eine Kurve auf einer Fläche ist eine Krümmungslinie, wenn je zwei längs 
der Kurve errichtete unendlich benachbarte Flächennormalen sich schneiden. 
Aber auch die Differenz]algleichungen, welche oben zur Darstellung jener Eigenschaft der 
Hauptschnitte dienten, lassen sich sogleich auf die Krümmungslinien übertragen. Am unmittel 
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