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Drei zu einander orthogonale Flächenscharen schneiden sich in Krüm-
mungslinien.
Um drei solche Flächensysteme analytisch darzustellen, denke man sich den Träger x
eines Punktes im Raume abhängig von 3 Parametern d, co, ip, setze also
217) x = X(ß- t U, xpy
Dann stellen die Gleichungen
218) d = const., co = const., ip = const.
drei Flächen scharen dar. Legt man den 3 Konstanten bestimmte Werte -5^, w t , xp 1 bei, ersetzt
also die drei Gleichungen 218) durch die bestimmten Gleichungen
219)
Fig. 37.
d = d ± , co — co 1 , ïp — i/q,
so ergiebt jede einzelne von ihnen eine bestimmte Fläche aus einer
der 3 Scharen (vgl. Fig. 37). Je zwei von ihnen zusammengenommen
liefern die Schnittkurven von 2 Flächen, welche 2 verschiedenen Scharen
des Systems 218) angehören. Längs einer solchen Schnittkurve bleibt
daher nur noch ein Parameter veränderlich, und man wird somit ihre
Tangentenstrecke durch die partiellen Differenzialquotienten von x nach
jenem Parameter darstellen können. Für jeden Punkt des Raumes
erhält man dann 3 solche Tangentenstrecken
dx dx dx
dd ’ dco 5 dip
Sollen nun die 3 Flächenscharen zu einander ortho
gonal sein, so müssen auch diese 3 Tangentenstrecken auf
einander senkrecht stehen, d. h. sie
äx müssen den 3 Gleichungen genügen
t//=W,
J-J,
220)
' dx
dx~
dco
dip
' dx
dx~
_dlp
dü
’ dx
dx~
d$
dco
= 0
= 0
und zwar müssen diese Gleichungen für jeden Wert der 3 Parameter #, tu, xp erfüllt sein.
Insbesondere wird jede von den 3 Gleichungen auch dann noch gültig bleiben müssen, wenn
man immer von der Fläche, deren Tangentenstrecken in der Gleichung enthalten sind, zu ihrer
Nachbarfläche übergeht, d. h. wenn man die Gleichung partiell nach dem Parameter der Fläche
differenziert, also die erste Gleichung nach $■, die zweite nach io und die dritte nach ip. Dadurch
aber erhält man die Gleichungen
r d 2 X
dx~
dco dip
dd-
" dx
d 2 x
+
d 2 x
dx
dco
dip dd■_
dd- dco
dip
+
~ dx
_dip
d 2 x
dtHkü
dx
d 2 x
4_
d 2 x
dx
dd
dco dlj.>
dlf.i dd
dco
0
0
0.
