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2* 
Diese sind homogen und linear in 
' dx 
d 2 x 
’ dx 
d 2 x ' 
* dx 
d 2 X 
dd• 
dto dip 
5 
dco 
dip d& 
I 
dip 
dd-dco 
und können, da ihre Determinante 
0 1 1 
10 1=2 von 0 verschieden ist, nicht anders zusammenbestehen, als wenn gleichzeitig 
110 
F" 2sv 
- 0, 
221 ) [dw dip d».\ = °’ 
r P)nr. a&r. 
0 ist. 
Diese Gleichungen aber haben, da die Tangentenstrecken wegen 220) zu 
gleich die Normalen der Flächen 
d- = const, CO 
~ dx 
d 2 x 
dd- 
dco dtp 
’ dx 
d 2 X 
dco 
dip d$ 
” dx 
d 2 X 
dip 
dB- dco 
const., ip = const. 
sind, abgesehen von einem Zahlfaktor genau die Form der Differenzialgleichung 205) und sagen 
daher aus, dafs die auf jeder Fläche der 3 Scharen ausgeschnittenen Kurvennetze ebene Maschen 
besitzen. Da aber die Maschen nach der Voraussetzung 220) zugleich rechtwinklig sind, so 
sind diese Netze Krümmungsnetze. 
Zehnter Abschnitt. 
Asymptotenlinien. 
In einem scharfen Gegensätze zu den Krümmungslinien stehen diejenigen Linienscharen 
einer Fläche, deren Kurven überall die Richtung angeben, längs deren die Normalschnittskrüm 
mung verschwindet, man nennt sie die Asymptotenlinien der Fläche. Von den Krümmungslinien 
unterscheiden sie sich zunächst schon dadurch, dafs sie nur diejenigen Teile der Fläche über 
ziehen, in denen das Krümmungsmafs negativ oder = 0 ist, was sofort aus den obigen Angaben 
über das Verschwinden der Normalschnittskrümmung (vgl. S. 58) hervorgeht. Übrigens gewährt 
die dort für die Normalschnitte mit verschwindender Krümmung entwickelte Gleichung 
196) 
1 1 . 
0 = — cos 2 cp -) sm 2 cp 
Qi Q2 
zugleich einen Aufschlufs über die Anzahl und Lage der Asymptotenlinien. Schreibt man näm 
lich die Gleichung 196) in der Form 
222) 
tang cp = + v 
und beachtet, dafs cp den Winkel bedeutet, welchen die Asymptotenlinie mit der zur Krüm 
mung — gehörenden Krümmungslinie einschliefst, so liest man aus der Gleichung unmittelbar 
Qi 
den Satz ab: