78 
(vgl. Nr. 199) die Gestalt an 
255) 
дву 
дЭ 
= О, 
woraus durch Integration folgt, dafs e v eine Funktion von со allein ist; wir bezeichnen sie mit 
e r (co). Dann lautet das Integral von 255) 
2o6) 6y = 6j/(w) 
und besagt, dafs alle Flächennormalen, welche man in den Punkten einer Krümmungslinie 
io = const., d. h. in den Punkten einer ©-Linie konstruieren kann, dieselbe Neigung e v haben, 
einander also parallel laufen; oder, was auf dasselbe hinauskommt, dafs sämtliche Tangentialebenen, 
welche den Punkten einer ©-Linie zugehören, in eine einzige Ebene zusammenfallen. Da diese 
Beziehungen aber nicht nur für eine einzelne Linie со = const., sondern ganz allgemein für 
jede ©-Linie gelten, so läfst sich schon mittelst geometrischer Schlüsse folgern, dafs die ©-Linien 
gerade Linien sein müssen; indes ergiebt es sich auch leicht analytisch. Nach Nr. 214) erhält 
man nämlich für die Tangentenstrecke einer ©-Linie den Wert 
257) 
dx 
J9 
= о 
(со) 
de v 
dco 
In diesem Ausdrucke aber kann höchstens der die Länge der Strecke bestimmende Zahlfaktor o 
noch von 9 abhängen, der andere Faktor hingegen 
de v 
welcher die Richtung der Tangentenstrecke angiebt, ist wegen 256) sicher eine Funktion von co 
allein. Die Richtung der Tangentenstrecke ist also längs einer jeden ©-Linie konstant, jede 
©-Linie somit eine gerade Linie. Man hat daher den Satz: 
Jede Fläche vom Krümmungsmafs 0 enthält eine unendliche Schar von 
geraden Linien, welche zugleich Krümmungslinien der Fläche sind.*) 
Beachtet man aber weiter, dafs (nach S. 63) die Krümmungsmaschen einer Fläche ebene 
Vierecke sind, und dafs immer zwei Nachbargeraden aus der Schar der ©-Linien das eine Paar 
Gegenseiten dieser Vierecke bilden, so schliefst man weiter: 
Je zwei Nachbargeraden einer Fläche vom Krümmungsmafs 0 liegen in einer 
Ebene. 
Damit ist aber zugleich auch die Abwickelbarkeit der Fläche bewiesen; denn man kann 
immer das zwischen 2 aufeinanderfolgenden Geraden der Fläche liegende Ebenenstück um seine 
erste Grenzgerade so lange drehen, bis es mit dem längs dieser Geraden angrenzenden Nachbar 
stück in eine Ebene fällt, und dies Verfahren so lange fortführen, bis die ganze Fläche auf der 
Ebene ausgebreitet ist, und erhält also den Satz: 
Jede Fläche vom Krümmungsmafs 0 ist abwickelbar. 
Da somit nach dem Gaufsschen Satze von der Flächenverbiegung jede abwickelbare Fläche 
das Krümmungsmafs 0 besitzt, und, wie soeben bewiesen, jede Fläche vom Krümmungsmafs 0 
abwickelbar ist, so sind die beiden Begriffe „abwickelbare Fläche“ und „Fläche vom Krümmungs- 
*) Der von Hoppe in seinem sonst vortreff liehen Buche über Flächentheorie (Leipzig, 1876) auf S. 49 
gegebene Beweis dieses Satzes ist nicht bindend; denn durch seine Schlufsweise würde sich z. B. auch folgern 
lassen, dafs hei einem Kreisringe diejenige Krümmungslinie, längs deren das Krümmungsmafs verschwindet, eine 
gerade Linie sein müsse.