Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen. 
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2. Wie der bisher betrachtete Fall, wo eine Ausdeh 
nung, die etwas Unendliches (eine unendliche Länge oder 
auch Breite) an sich hat, und gleichwohl von einer nur 
endlichen Größe befunden wird, nur bei den zwei höheren 
Arten der Ausdehnung, den Flächen und Körpern, nicht 
aber bei Linien eintreten kann: so findet das Gegenteil bei 
dem Falle statt, auf den wir jetzt zu sprechen kommen, 
wo eine Ausdehnung, die deshalb endlich scheint, weil sic 
in einen ganz endlichen Raum beschränkt ist, in der Tat 
doch eine unendliche Größe besitzt. Dieser Fall nämlich 
kann nur bei den zwei niederen Arten der Ausdehnung, 
den Linien und Flächen, keineswegs aber bei Körpern 
Platz greifen. Ein Körper, in dem es keine Punkte gibt, 
deren Entfernungen voneinander jede gegebene Größe über 
schreiten, kann sicher nicht unendlich groß sein. So er 
gibt es sich unmittelbar aus der bekannten Wahrheit, daß 
unter allen Körpern, deren Punkte eine gegebene Entfer 
nung E } der eine von dem anderen nicht überschreiten 
sollen, der größte eine Kugel vom Durchmesser E sei. 
Denn diese enthält jene Punkte allzumal, und ihre Größe 
7i: 
ist nur —•£'*; jeder andere diesen Raum nicht überschrei- 
7t 
tende Körper muß also notwendig kleiner als —^ • E ä sein. 
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Der Linien dagegen, die sich in den Raum einer einzigen, 
auch noch so kleinen Fläche, z. B. eines Quadratschuhes, 
einzeichnen lassen, gibt es unendlich viele, und jeder aus 
ihnen können wir eine wenigstens endliche Größe, z. B. die 
Länge eines Schuhes, erteilen, auch durch Hinzufügung 
einer oder auch unendlich vieler Verbindungslinien sie alle 
zu einer einzigen durchaus zusammenhängenden Linie ver 
einen, deren Länge dann gewiß eine unendliche sein muß. 
Und völlig ebenso gibt es der Flächen, die sich in den 
Raum eines einzigen, auch noch so kleinen Körpers, 
z. B. eines Kubikschuhes, einzeichnen lassen, unendlich 
viele, deren jeder wir eine Größe, z. B. die eines Quadrat 
schuhes, erteilen können, und durch Hinzufügung einer oder 
Bolzano, Paradoxien des Unendlichen. 7