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Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen. 
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einer Linie, wie die hier besprochene, von selbst schon 
aufgedrungen haben. 
Soll aber die räumliche Ausdehnung, welche der Um 
läufe um einen gegebenen Punkt unendlich viele macht, 
eine Fläche oder ein Körper sein; so bedarf es nicht ein 
mal der beschränkenden Bedingung, daß sich das Raum- 
ding mit keinem seiner Punkte über eine bestimmte Weite 
von seinem Mittelpunkte entferne. Denn um mich auf die 
kürzeste Weise verständlich zu machen, denke sich der Leser 
die nur erwähnte Spirale als eine Art Abszissenlinie, aus 
deren jedem Punkte Ordinaten senkrecht auf sie und ihre 
Ebene hervorgehen. Der Inbegriff all dieser Ordinaten 
bildet dann offenbar eine Fläche (von der Art der zylin 
drischen), die nach der einen Seite hin sich in unendlich 
vielen Windungen dem Mittelpunkte naht, ohne ihn Je zu 
erreichen, nach der anderen aber sich ins Unendliche ent 
fernt. Wie groß diese Fläche sei, wird von dem Gesetze 
abhängen, nach dem wir die Ordinaten zu- oder abnehmen 
lassen. Der dem Mittelpunkte zueilende Teil aber wird 
jederzeit endlich verbleiben, solange wir die Ordinaten 
nach dieser Seite (d. h. über dem nur endlichen Abszissen 
zweige) hin nicht ins Unendliche zunehmen lassen, weil jede 
Fläche, in der weder Abszisse noch Ordinate ins Unend 
liche wachsen, endlich ist. Doch auch der Teil der Fläche, 
der über dem anderen sich ins Unendliche entfernenden 
Spiralzweige steht, wird endlich bleiben, so oft die Ordi 
naten in einem schnelleren Verhältnisse abnehmen als die 
Abszissen (d. h. die Bogenlänge der Spirale) zunehmen. 
Wählen wir also zur Abszissenlinie die natürliche Spirale, 
wo der von dem Radius = i dem Mittelpunkte zueilende 
Zweig die Länge j/2 hat, und nehmen zur Begrenzung der 
Fläche den Bogen einer Hyperbel höherer Art, für den die 
Gleichung yx 2 = a 3 : so hat derjenige Teil dieser Fläche, 
der von x — a zu allen höheren Werten von x gehört, doch 
nur die Größe a 2 , während der andere, zu allen kleineren 
Werten von x gehörige Teil in das Unendliche wächst. 
Nehmen wir aber a^>]/2 und verlegen den Endpunkt der 
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