Menge der Punkte in räumlichen Ausdehnungen. 101 
in so verschiedenartigen und oft so paradoxen Verhältnissen, 
daß wir wenigstens einige derselben noch in besondere 
Betrachtung ziehen müssen. 
Daß auch ein Raumding, das eine unendliche Menge 
von Punkten enthält, darum noch keine stetige Ausdehnung 
sein müsse; wie auch, daß es bei einer stetigen Ausdeh 
nung nicht eben die Menge der Punkte sei, die wir durch 
ihre Größe bestimmen; daß von zwei Ausdehnungen, die 
wir als gleich groß ansehen, die eine noch um eine unend 
liche Menge von Punkten mehr oder weniger enthalten 
könne denn die andere; ja, daß eine Fläche unendlich viele 
Linien, ein Körper unendlich viele Flächen mehr oder 
weniger als ein gleich groß erachtetes Ausgedehnte der 
selben Art enthalten könne: das alles können wir schon 
als hinreichend aufgeklärt aus dem bisher Gesagten be 
trachten. 
1. Das Erste, worauf wir die Aufmerksamkeit des Lesers 
richten wollen, ist, daß die Menge der Punkte, die eine 
einzige, auch noch so kurze Gerade az enthält, eine Menge 
sei, die als unendlich größer betrachtet werden müsse, 
denn die unendliche Menge derjenigen, die wir aus ersterer 
ausheben, wenn wir, anzufangen von einem ihrer Grenz 
punkte a, in einer angemessenen Entfernung einen zweiten 
b, nach diesem in einer kleineren Entfernung einen dritten 
c herausheben und so ohne Ende fortfahren, jene Entfer 
nungen nach einem Gesetze vermindernd, dabei die unend 
liche Menge derselben in ihrer Summe gleich oder kleiner 
als die Entfernung az ist. Denn da auch die unendlich 
vielen Stücke ab, bc, cd in welche az zerfällt, ins 
gesamt wieder endliche Linien sind: so kann mit jeder 
vorgenommen werden, was wir soeben von az verlangt, 
d. h. in jeder läßt sich abermals eine solche unendliche 
Menge von Punkten wie in der az nach weisen, die zu 
gleich in der az stecken. Mithin muß in der ganzen az 
eine solche unendliche Menge von Punkten unendlichemal 
enthalten sein. 
2. Jeder Geraden, ja jeder räumlichen Ausdehnung über