haupt, die einer anderen nicht nur ähnlich, sondern auch 
(geometrisch) gleich ist (d. h. in allen durch die Ver 
gleichung mit einer gegebenen Entfernung begrifflich 
darstellbaren Merkmalen mit ihr übereinstimmt), muß 
auch die gleiche Menge von Punkten zugestanden werden, 
sofern wir nur auch die Art der Begrenzung in beiden 
gleich annehmen, z. B. in beiden Linien die Grenzpunkte 
mitrechnen oder nicht mitrechnen. Denn das Gegenteil 
könnte nur statthaben, wenn es Entfernungen gäbe, die, 
obwohl gleich, doch eine ungleiche Menge von Punkten 
zwischen den beiden Punkten, deren Entfernungen sie sind, 
zulassen. Das aber widerspricht dem Begriffe, den wir 
mit dem Wort geometrisch gleich verbinden; denn eben 
dann nur nennen wir eine Entfernung ac ungleich mit einer 
b 
anderen ab, und zwar größer als diese, wenn in dem 
Falle, daß b und c beide in einerlei Richtung liegen, der 
Punkt b zwischen a und c kommt, und somit alle Punkte 
zwischen a und b wohl auch zwischen a und c, aber nicht 
umgekehrt alle zwischen a und c auch zwischen a und b 
liegen. 
3. Bezeichnen wir die Menge der Punkte, die zwischen 
a und b liegen, samt a und b durch E, und erheben die 
Gerade ab zur Einheit aller Längen, so wird die Menge 
der Punkte in der Geraden ac, welche die Länge n hat 
(worunter wir jetzt nur eine ganze Zahl verstehen), wenn 
ihre Grenzpunkte a und c mit eingerechnet werden sollen, 
= nE—{n—1) sein. 
4. Die Menge der Punkte in einer Quadratfläche, 
deren Seite = 1 ist (dem gewöhnlichen Maße für Flächen), 
wird, wenn wir den Umfang mit dazurechnen, =E- sein. 
5. Die Menge der Punkte in jedem Rechtecke, dessen 
eine Seite die Länge m, die andere die Länge n hat, wird 
mit Einberechnung des Umfanges sein 
= mnE 2 — [n (m— i)-]-m(n— i)]E-f(m— i)(n— 1). 
102 Menge der Punkte in räumlichen Ausdehnungen.