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Anmerkungen zu § 28.
transfiniten Kardinalzahlen)*) ist, wie in der Mengenlehre ge
zeigt wird, sehr wohl eine Rechnung möglich:
Seien m und n zwei Mächtigkeiten. Um die Summe m + n
zu definieren, gehen wir aus von einer Menge M der Mächtig
keit nt und einer Menge N der Mächtigkeit n, die mit M kein
Element gemein habe. Wir bilden die „Vereinigungsmenge“ von
AT und N, die aus sämtlichen Elementen von M und sämtlichen Ele
menten von N besteht, und definieren: m + n ist die Mächtigkeit dieser
Vereinigungsmenge. — Um das Produkt mn zu definieren, gehen
wir wieder aus von einer Menge M der Mächtigkeit nt und einer
Menge N der Mächtigkeit n. Wir bilden alle möglichen Paare (a,b),
deren erstes Glied a zu M, deren zweites Glied b zu N gehört. Die
Menge aller dieser Paare bezeichnen wir als die „Verbindungs
menge“ von M mit N und definieren: mit ist die Mächtigkeit
dieser Verbindungsmenge. — Um die Potenz m n zu definieren,
ordnen wir jedem Elemente von N ein Element von M zu (wo
bei sehr wohl auch verschiedenen Elementen von N dasselbe
Element von M zugeordnet werden darf), und nennen eine solche
Zuordnung auch eine Belegung von N mit Elementen von AI.
Die Menge aller solchen Belegungen nennen wir die „Belegungs
menge“ von N mit M und definieren: in« ist die Mächtigkeit dieser
Belegungsmenge.
Diese Definitionen von Summe, Produkt und Potenz können
mit Recht als Erweiterungen aufs Unendliche der für natürliche
Zahlen geläufigen Definitionen angesehen werden. Denn sind AI
und A endliche Mengen, so ergeben unsere Definitionen tatsäch
lich die bekannten Werte von Summe, Produkt, Potenz zweier natür
licher Zahlen. Auch die für natürliche Zahlen bekannten Rech
nungsregeln, sofern sie sich durch Gleichungen ausdrücken
(assoziatives, kommutatives, distributives Gesetz), bleiben für be
liebige Mächtigkeiten bestehen, nicht aber die durch Unglei
chungen ausgedrückten. Daher rührt es auch, daß die inversen
Operationen (Subtraktion, Division) auf unendliche Mächtigkeiten
nicht übertragen werden können.
Der hier skizzierte Kalkül mit Mächtigkeiten hat sich als
sehr fruchtbar erwiesen. Um nur ein Beispiel zu geben: bedeutet
*) Ähnliches gilt auch für Cantors Ordnungstypen, die in demselben
Sinne eine Ausdehnung des Begriffes „Ordinalzahl“ auf unendliche Mengen liefern,
wie dies die Mächtigkeiten für den Begriff „Kardinalzahl“ leisten (vgl. A. F r a e nk e 1,
Einl. i d. Mengenlehre, S. 78 ff).