Falsche Rechnungen mit Unendlichem. 
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Bolzano, Paradoxien des Unendlichen. 
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§ 32. 
Erst noch 1830 versuchte in Gergonnes Annales de 
Mathématique (T. 20, Nr. 12) ein mit M. R. S. Unterzeichneter 
zu beweisen, daß die bekannte unendliche Reihe 
a — a —j— a — a —J— a — a —J— in inf. 
den Wert — habe; indem er, diesen Wert —x gesetzt, 
schließen zu dürfen glaubte, daß 
x = a — a -j- a — a -f-... in inf. = a — (a — a a — a 
-j-... in inf.) 
und die in den Klammern eingeschlossene Reihe identisch 
mit der zu berechnenden/ somit abermals —x zu setzen sei, 
welches denn 
x = a — x 
und somit x = — gibt. 
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Der Fehlschluß liegt hier nicht tief verborgen. Die Reihe 
in den Klammern hat offenbar nicht mehr dieselbe Glieder 
menge, wie die zuerst = x gesetzte; sondern ihr fehlt das 
erste a. Ihr Wert hätte also, falls er überhaupt angeblich 
wäre, durch x — a bezeichnet werden müssen; was aber 
die identische Gleichung 
x = a -\- x — a 
gegeben hätte. 
„Aber eben darin“, dürfte man sagen, „liegt etwas Para 
doxes, daß diese Reihe, die doch gewiß nicht unendlich 
groß ist, keinen genau bestimmbaren, meßbaren Wert haben 
sollte, zumal da sie durch eine in das Unendliche fort 
gesetzte Division von 2 = 1 1 in a hervorgehe ; ein Ur 
sprung, der ganz für die Richtigkeit der Voraussetzung 
spricht, daß ihr wahrer Wert doch nur — sei.“ 
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