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Falsche Rechnungen mit Unendlichem. 
Ich erinnere, es sei doch eine an sich nicht unbegreif 
liche Sache, daß es auch Größenausdrücke gäbe, die 
keine wirkliche Größe bezeichnen, wie wir denn schon 
die Null selbst als einen solchen allgemein anerkennen und 
anerkennen müssen. 
Eine Reihe insonderheit, wenn wir erklären, sie nur 
als eine Größe, nämlich nur als die Summe ihrer Glieder 
betrachten zu wollen, muß kraft des Begriffes einer Summe 
(die zu den Mengen, d. h. zu denjenigen Inbegriffen gehört, 
bei denen auf keine Ordnung ihrer Teile geachtet werden 
soll) von einer solchen Beschaffenheit sein, daß sie keine 
Veränderung in ihrem Werte erfährt — welche Veränderung 
wir auch in der Aufeinanderfolge ihrer Glieder vornehmen 
mögen. Bei Größen muß namentlich sein: 
(A -j- B) -)- C = A -{- (B -)- C) = (A -j- C) -j— B. 
Dies Merkmal nun bietet uns einen klaren Beweis dar, 
daß die hier in Rede stehende Zeichnung: 
a — a -|- a — a -f- a — a-[-...in inf. 
kein Ausdruck einer wirklichen Größe sei. Denn sicher 
würden wir an der hier vorgestellten Größe, falls eine 
vorgestellt würde, nichts ändern, wenn wir jene Zeichnung 
so abänderten: 
(i) 
(a — a) -f- (a — a) -j- (a — a) -f- in inf.; 
weil hier nichts anderes geschah, als daß je zwei unmittel 
bar einander folgende Glieder in eine Teilsumme vereinigt 
wurden: was gewiß möglich sein muß, weil die gegebene 
Reihe wirklich kein letztes Glied haben soll. Dadurch 
erhalten wir aber 
o —[— o —j— o —|— , 
in inf., 
was offenbar nur = o ist. 
Ebensowenig kann jedoch an der Größe, die jener Aus 
druck vorstellt, falls er in Wirklichkeit eine vorstellt, sich 
etwas ändern, wenn wir ihn so umformen;