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Fiktionen in der Mathematik
Dann wirft er die Frage auf, wie sich denn das Rätsel
erkläre, daß man gerade durch solche unlogischen, ja un
sinnigen Begriffe richtige Rechnungsresultate erhalte, und be
antwortet sie mit seinem Prinzip der Korrektur durch ent
gegengesetzte Fehler. Der erste Fehler bestehe darin, daß der
Kreis überhaupt als ein Vieleck betrachtet werde; daß sich
dieser im Schlußergebnis nicht störend geltend mache, viel
mehr das Resultat und die daraus gezogenen Konsequenzen
zutreffen, könne nur so erklärt werden, daß jener Fehler
wieder auf irgendeine Weise rückgängig gemacht worden sei.
In der weiteren Ausführung erscheinen aber zwei Gedanken
gänge miteinander verquickt;
a) Durch die stetige Verkleinerung der Seiten... werde der
Fehler ebenso stetig verkleinert und weil dies ins Unendliche
fortgesetzt gedacht werde, müsse eben der begangene Fehler
selbst unendlich klein, oder vielmehr = 0 werden.
b) Wenn Vaihinger dann sagt: „Somit besteht das ganze Ge
heimnis hierbei in der Kompensation des gemachten Fehlers“,
so streift er schon den zweiten Gedanken, der Fehler werde
durch einen entgegengesetzten Fehler gutgemacht, der erste
Fehler werde aufgehoben oder kompensiert durch die un
logische Annahme eines „Unendlich-Kleinen“, oder die An
nahme von oo vielen Seiten. Den ersten Gedanken läßt Vai
hinger nachher fast ganz fallen und betont in schärfster Form
das Prinzip der entgegengesetzten Fehler.
„Dieselbe Vermittlerrolle, welche wir das Unendliche, speziell
das Unendlich-Kleine, hier spielen sehen, übernimmt derselbe
Begriff bekanntermaßen in viel ausgedehnterer Weise in der
„Infinitesimalmethode“, sagt Vaihinger 288 ). Tatsächlich be
wegte er sich aber schon bei dem Problem der Flächen- und
Körperberechnung auf diesem Gebiet und auch seine Argumen
tation bei den Begriffen Punkt, Linie, Fläche ist durch gewisse
Vorstellungen der Differentialgeometrie, speziell der Integral
rechnung, veranlaßt. Vaihinger hat der Infinitesimalrechnung
ganz besondere Aufmerksamkeit geschenkt, und nicht mit Un
recht, denn hier liegt ein Gebiet vor, wo das Ringen um präzise