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Die Grundbegriffe der Geometrie 
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ehe wir uns mit Naturwissenschaft und Geometrie planmäßig 
beschäftigen. Man müsse noch stärker auf solche Quellen 
zurückgehen, um sich eine Vorstellung zu bilden, wie im Be 
reich der ausgedehnten starren Körper die Unterscheidungen 
zustande kommen. Schrittweise vergehend, sucht Pasch den 
empirischen Stoff zu ermitteln und ist dabei genötigt, Einzel 
heiten in sehr großer Zahl zu verzeichnen. Aber er sagt selbst: 
„Diese Bausteine müssen beschafft und zubereitet sein, ehe der 
Geometer an die im engeren Sinn mathematische, d. h. die rein 
logische Arbeit gehen kann“ 296 ). 
Was soll damit erreicht werden? In „Veränderliche und 
Funktion“ heißt es: „In zweierlei Sinn kann man von mathe 
matischer Gewißheit sprechen. In dem einen Sinn bezieht sie 
sich nur auf die Folgerichtigkeit der Aussagen, also auf etwas, 
worüber der Verstand untrüglich entscheiden kann, wodurch 
aber die Anwendbarkeit auf die Erfahrungswelt noch nicht 
gesichert...; in dem andern Sinn bezieht sich die Gewiß 
heit der Mathematik gerade auf die Anwendbarkeit; diese setzt 
die Folgerichtigkeit voraus und verlangt außerdem nur die 
Anwendbarkeit der Grundlagen.“ 
Pasch gibt immer wieder zu, daß der Mathematiker sich auf 
die sog. hypothetische Geometrie beschränken und die Frage 
nach Herkunft und Anwendbarkeit der Geometrie als etwas 
für ihn Gleichgültiges betrachten könne; innere Widersprüche 
in dem Lehrgebäude seien nicht zu befürchten 297 ). Werden 
dann aber die hypothetischen Begriffe und die zwischen ihnen 
angenommenen Beziehungen (hypothetische Sätze) auf Natur- 
gegenstände angewendet, zunächst auf gezeichnete Figuren, 
so bleibe dies etwas Willkürliches, solange nicht die Gesetze 
der Anwendung formuliert werden... So werde es dann not 
wendig, zweierlei Hypothesen zu machen. Die Hypothesen der 
einen Art bringen die hypothetischen Begriffe nur miteinander 
in Beziehung, nicht mit empirischen; die Hypothesen der 
andern Art sollen die Brücke zwischen hypothetischen und 
empirischen Begriffen hersteilen. Das sei gegenüber dem Vor 
gehen des Empiristen ein Umweg, Der empiristische Geometer