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Fiktionen in der Matliema ti k
könne, ohne hypothetische Begriffe oder Sätze einzuführen,
zum Ziel gelangen und sich doch durch geeignete Begriffs-
bildnng die Vorteile verschaffen, die mit der Handhabung
jener hypothetischen Begriffe verknüpft sind und den Fort
schritt der Geometrie wesentlich gefördert haben.
Während man so bei der Geometrie die beiden Seiten mathe
matischer Gewißheit voneinander trennen und innere Folge
richtigkeit erzielen kann, ohne nach dem empirischen Ur
sprung der geometrischen Begriffe zu fragen, ist nach Pasch
die Sachlage in der Zahlenlehre eine andere. Die innere Folge
richtigkeit der Geometrie wird nämlich dadurch verbürgt, daß
man einen sog. „Stamm“ der Geometrie auf die Arithmetik
überträgt, und die Frage der Widerspruchslosigkeit dann an
diese richtet, die Arithmetik dagegen kann nicht in ent
sprechender Weise auf ein anderes zurückgeführt werden.
„Wir sind in der Arithmetik darauf angewiesen, ihren Kern
aus sich heraus zu beurteilen“ 298 ). Daraus ergibt sich für
Pasch die Richtschnur für das Aufdecken der Kernsätze der
Arithmetik: Der Kern muß Aufschluß geben über die Quelle,
aus der die Arithmetik fließt, denn „nur dadurch, daß man die
Arithmetik bis zu ihrer Quelle zurückverfolgt, kann man
Kernsätze zu gewinnen hoffen, die mit der Eigenschaft
der Unentbehrlichkeit die der äußersten Einfachheit
verbinden“ 299 ).
Pasch gebraucht hier statt der in verschiedenem Sinn an
gewendeten Wörter „Grundbegriffe“ und „Grundsätze“ die
Ausdrücke „K e r n b e g r i f f e“ und „Kernsätz e“. Die
Kernsätze für ein Gebiet der Mathematik bilden dessen Kern.
Ein solcher muß an die Spitze gestellt werden und seine Sätze
müssen alle Beweisgründe für das weitere liefern. Das gilt für
die Geometrie wie für die Analysis; „für das, was sich nicht
einzig und allein auf die jedesmal ausgesprochenen Kernsätze
gründet, unmittelbar oder mittelbar, ist im Lehrgebäude der
Mathematik kein Platz“ 300 ).
An anderer Stelle meint Pasch; „Die der Mathematik selbst
eigentümlichen Begriffe aber spielen ihre Rolle bei den
