Fiktionen in der Mathematik 
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tionen in Lehrsätze wird erreicht, daß als Beweisgründe der 
äußeren Form nach nur Kernsätze und Lehrsätze auftreten, 
nicht auch Definitionen. 
Uber den Wert impliziter Definitionen für den 
Fortschritt in Geometrie und Analysis äußert sich Pasch in 
folgender Weise 305 ): „Gewiß könnte man sich mit dem Begriff 
der geraden Strecke begnügen, wie es Ja so lange geschehen 
ist, und so der impliziten Definition, zu der der Begriff der ge 
raden Linie nötigt, aus dem Wege gehen. Man müßte aber 
dann in der Geometrie allen neueren Ergebnissen, in denen 
die gerade Linie und von ihr abhängige Begriffe verkommen, 
andere Fassungen geben. Diese Fassungen wären von un 
erträglicher Weitläufigkeit und ein schweres Hemmnis für 
den Fortschritt der Wissenschaft und für ihre Überlieferung.“ 
In der elementaren Geometrie sind die Begriffe eng begrenzt, 
in der neueren dagegen weit und umfassend. Dadurch konnten 
die elementaren Fragen nur schwerfällig, die höheren dagegen 
in durchsichtiger und verhältnismäßig einfacher Weise be 
handelt werden. Nach Ansicht Paschs können die erweiterten 
Begriffe auch in den Elementen verwendet werden, nur müssen 
sie an der rechten Stelle eingeführt werden. Pasch gibt in 
seinen „Vorlesungen über Neuere Geometrie“ ein glänzendes 
Beispiel für solche fortschreitende Begriffserweiterung. In 
den „Grundfragen der Geometrie“ heißt es darüber: Der Weg 
vom physischen Punkt zum mathematischen führt über Zwi 
schenglieder. Zuerst wird vom Punkt und der geraden Strecke, 
die begrenzt ist, zur geraden Linie oder Geraden, der Be 
grenzung fehlt, übergegangen, ebenso von der ebenen Fläche, 
die begrenzt ist, zur Ebene, der Begrenzung fehlt. Indem 
die Anwendung der Wörter: Punkt, Gerade, Ebene über ihre 
„eigentliche“ Bedeutung hinaus erweitert wird, gesellen sich 
„ideale Elemente“ zu den eigentlichen. Indem man die An 
wendung der Beziehungsbegriffe: Aneinanderliegen, . . . ent 
sprechend erweitert, gewinnt man die Stammbegriffe der pro 
jektiven Geometrie... Nunmehr werden Koordinaten und, 
unter Rücksichtnahme auf die Ungenauigkeit der geometri-