159
sehen Kernbegriffe, arithmetische Gebilde eingeführt, die
man als „mathematischen Punkt“, „mathematische Gerade“,
„mathematische Ebene“ bezeichnen darf. Damit ist der empi
rische Unterbau vollendet...
Wie notwendig diese Begriffsbildungen und Begriffserweite
rungen sind, geht aus folgenden Sätzen Paschs hervor 306 ):
„Die Aufstellung eines Satzes, welcher bei aller Kürze des
Ausdrucks so viele einzelne und verschiedenartige Erscheinun
gen umfaßt, setzt bezüglich der Begriffsbildung die ent
sprechende Zweckmäßigkeit und Allgemeinheit voraus. Es
wäre schwerlich gelungen, diese Eigenschaften bei den Be
griffen der Perspektivität und der harmonischen Lage zu
erzielen, wenn man sich auf diejenige Terminologie beschränkt
hätte, bei welcher zweien Geraden in einer Ebene nicht not
wendig ein Durchschnittspunkt, zweien Ebenen nicht not
wendig eine Durchschnittslinie zukommt.“
Die Frage nach der inneren Widerspruchslosigkeit der
Mathematik ist mit der Erörterung ihrer Begriffe nicht er
ledigt; es muß noch das mathematische Verfahren im ein
zelnen und die Widerspruchslosigkeit eines schon aufgestellten
Kerns untersucht werden.
Pasch hat immer wieder betont, die Darstellung der Mathe
matik müsse rein deduktiv sein; das hat nach seiner
Meinung nichts damit zu tun, ob man den empirischen oder
einen andern Standpunkt einnimmt. „Zum Wesen der reinen
Deduktion gehört, daß jeder Beweis sich ,atomisieren‘, d. h. in
Schritte gewisser Art auflösen läßt oder in einem einzelnen
solchen Schritt besteht“ 307 )- Das Prüfen der einzelnen Beweis
schritte beruhe auf Voraussetzungen, wie der: Wenn zwei
Wortgefüge vorliegen, so ist „entscheidbar“, ob sie dieselbe
Aussage einkleiden. „Nicht entscheidbar“ sei dagegen die
Frage, ob eine vorgelegte Aussage aus einem vorgelegten Be
stand von Aussagen gefolgert werden könne 308 ). Pasch meint:
„Als ein Beweis gilt dem Mathematiker nicht jedes Verfahren,
aus dem man die Überzeugung von der Richtigkeit einer
Behauptung schöpft, sondern nur das bereits geschilderte