Fiktionen in der Mathematik 
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abgeleitete, etwa durch implizite Definitionen eingeführte 
Begriffe. Sodann ist der Zusatz „voll Widerspruch“ nirgends 
bei Pasch zu finden, vielmehr betont er selbst immer bei seinen 
Begriffserweiterungen und Übertragungen, daß sie logisch 
widerspruchsfrei sein müssen. 
Das zwingt uns, der Frage nochmals Aufmerksamkeit zu 
schenken, wie M. Pasch diese erweiterten Begriffe einführt. 
Daß seine Kernbegriffe widerspruchsfrei sein müssen ist 
selbstverständlich, geht aber auch schon daraus hervor, daß 
sie ja bei seiner empiristischen Einstellung direkt einem 
empirischen Wirklichen entsprechen sollen. Bei den abge 
leiteten Begriffen handelt es sich entweder um explizite oder 
um implizite Definitionen. Hier haben wir uns speziell mit der 
impliziten Definition 319 ) zu befassen, weil nach dem Wortlaut 
bei M. Pasch gesagt werden könnte, es müsse sich um Fik 
tionen handeln 320 ). In „Veränderliche und Funktion“ sagt 
M. Pasch: „Wir bleiben bei der negativen Zahl oder dem un 
eigentlichen Punkt auf implizite Definitionen angewiesen“ 321 ). 
Aber in demselben Paragraphen betont er, daß implizite 
Definitionen nicht zu falschen oder bedeutungslosen Folge 
rungen führen, sie müssen sich ja durch Lehrsätze ersetzen 
lassen. Implizite Definitionen seien zulässig und zur Ver 
meidung von Weitschweifigkeiten erforderlich, wenn auch im 
letzten Grund nicht unbedingt notwendig, sie könnten, wie 
Kronecker es für den Zahlbegriff wünschte, wieder abgestreift 
werden. Eine implizite Definition sei aber nur am Platze, wenn 
das ihr entsprechende Ding sich unter den vorher möglichen 
Dingen nicht befinde, d. h. eben, wenn es nicht explizit defi 
niert werden könne. „Bei den impliziten Definitionen handelt 
es sich zunächst nur um Begriffe, die in die Mathematik Ein 
gang gefunden haben, ohne daß sie von vornherein auf eine 
Art, die dauernd befriedigen konnte, definiert wurden. Für 
einen solchen Begriff muß man, sofern er nicht als Grund 
begriff anzuerkennen ist, die Sätze aufsuchen, mittelst deren 
er zur Verwendung gelangt, die mithin den »Ersatz für die 
Definition* liefern. Diese Untersuchung kann dazu führen,