Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
die x unabhängig voneinander die reellen Werte von — oo 
bis + co durchlaufen läßt, eine Mannigfaltigkeitvon 
n Dimensionen. Das einzelne Wertsystem (x±, x 2 , ...x n ) 
nennt man ein Element der Mannigfaltigkeit. Man 
kann ein solches Element als Punkt in einem Raum von 
n Dimensionen deuten (Graßmann), aber diese Vorstellung ist 
nicht notwendig, die Xi, x 2 ,... x n können ebensogut als P a r a - 
meter eines Gebildes des gewöhnlichen Rau 
mes aufgefaßt werden (Plücker), dann erscheint dieser als 
Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen. 
Unterwirft man die Mannigfaltigkeit einer Reihe von räum 
lichen Änderungen (Transformationen), die die Eigenschaft 
haben, daß jede Änderung, die durch Zusammensetzung be 
liebig vieler Transformationen der Reihe entsteht, immer 
wieder eine Transformation der betreffenden Reihe ergibt und 
daß zu jeder Transformation die inverse Transformation in 
der Reihe enthalten ist, so bezeichnet man die Reihe von 
Transformationen als eine Gruppe. 
Als die einfachsten Beispiele solcher Transformations 
gruppen seien angeführt: 
1. Die Drehungen um den Anfangspunkt 
x, = ax + by + cz 
y, = a' X + b' y + c' z (1) 
Zj = a" x + b" y + c" z 
2. Die Parallelverschiebungen 
x t — x + A; y t = y + B; z, = z 4- C (2) 
3. Die Ähnlichkeitstransformationen 
X, = X x; y, == X y; Z 1 — A z (3) 
4. Die Inversion 
x i = — x; y t = — y; Zj = — z (4) 
In der Elementargeometrie versteht man unter geometri 
schen Eigenschaften eines räumlichen Gebildes solche 
Beziehungen, die von der Lage, der absoluten Größe und vom 
Riehtungssinn, in dem die Teile des Gebildes angeordnet sind, 
IQQ