Fiktionen in der Mathematik 
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unabhängig sind. Man nennt die Gesamtheit der räumlichen 
Änderungen, die diese geometrischen Eigenschaften unver 
ändert lassen, die H a u p t g r u p p e ; sie umfaßt also die 
Gruppe der Bewegungen, der Ähnlichkeitstrans 
formationen und der Spiegelungen, d. h. gerade die 
Gruppen (1) bis (4). 
Wir können aber das sinnliche Bild, das mathematisch un 
wesentlich ist, fallen lassen und im Raum nur eine mehrfach 
ausgedehnte Mannigfaltigkeit sehen, und zwar eine dreifach 
ausgedehnte, falls wir den Punkt als Raumelement beibehalten 
wollen. Dann können wir auf diese Mannigfaltigkeit Trans 
formationen ausüben, die wieder Gruppen bilden; es erscheint 
dann die Hauptgruppe nicht mehr vor andern Transforma 
tionsgruppen ausgezeichnet, und wir haben die allgemeinere 
Problemstellung: 
Es ist eine Mannigfaltigkeit und eine auf sie bezogene 
Transformationsgruppe gegeben; es sollen die der Mannig 
faltigkeit zugehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigen 
schaften untersucht werden, die bei Anwendung der Trans 
formationsgruppe ungeändert bleiben. 
Es handelt sich also um Verallgemeinerung in doppeltem 
Sinn: 
Einmal treten an die Stelle der Hauptgruppe gewisse um 
fassendere Gruppen, und die neueren geometrischen Unter 
suchungen lassen sich gerade dadurch charakterisieren, daß 
sie statt der Hauptgruppe erweiterte Gruppen räumlicher 
Transformationen zugrunde legen. 
Sodann bekommt auch der Begriff der geometrischen Größe 
eine weitere Fassung: 
Legt man nämlich nicht nur Punkte, sondern beliebige 
geometrische Gebilde durch „Koordinaten“ fest, die Verbin 
dungen verschiedener Reihen von Punktkoordinaten sein 
mögen, so kann man den Inbegriff der so zur Festlegung eines 
geometrischen Gebildes dienenden Koordinaten als geo 
metrische Größe bezeichnen. 
Die rationelle Klassifikation geometrischer