Fiktionen in der Mathematik
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treten aus der Fülle geometrischer Systeme gewisse, immer
wiederkehrende Behandlungsweisen hervor, unabhängig von
der Wahl und Deutung des Elements im einzelnen Fall.
JedeGeometrie istlnvariantentheorie einer
gewissen Mannigfaltigkeit in bezug auf eine
vorgelegte Transformationsgruppe.
Um hienach die verschiedenen geometrischen Systeme mit
einander vergleichen zu können, müssen noch einige allge
meine Sätze herangezogen werden.
Der Übergang von einer umfassenderen Gruppe
zu einer Untergruppe bedeutet entweder Betrachtung
der vorgelegten Mannigfaltigkeit in bezug auf ein ausgezeich
netes Gebilde, z. B. in der sphärischen Geometrie eines be
stimmten Punktes, oder Behandlung der Mannigfaltigkeit an
sich, aber unter Zugrundelegung der Transformationen, die
jenes Gebilde unverändert lassen.
Beim Übergang von einer Gruppe zu einer
umfassenderen Gruppe bleibt nur ein Teil der Eigen
schaften erhalten, die andern erscheinen nicht mehr als Eigen
schaften der Gebilde an sich, sondern als solche eines Systems,
das man durch Zufügung eines ausgezeichneten Gebildes er
hält; dieses würde, festgehalten, der Mannigfaltigkeit nur
noch die Transformationen der vorher betrachteten Gruppe
gestatten.
Hat man nun eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrunde
legung einer Gruppe B untersucht und führt dann A durch
eine Transformation in die Mannigfaltigkeit A' über, so wird
aus der Gruppe B, die A in sich transformiert, eine Gruppe B',
die A' in sich transformiert. Beide Behandlungsweisen, A
unter Zugrundelegung von B und A' in Verbindung mit B'
sind dann im wesentlichen identisch.
Auf Grund dieses Prinzips lassen sich manche scheinbar
grundverschiedene geometrische Untersuchungen identifizieren
oder doch auf Systeme zurückführen, deren gegenseitiges
Verhältnis man kennt. So bedeutet die elementare Geo
metrie der Ebene dasselbe wie die projektive Untersuchung