Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
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einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer 
Punkte 364 ). 
Besonders wertvoll wird dieses Prinzip, wenn man an Stelle 
der gewöhnlichen Raumelemente (Punkte) beliebige andere, 
Punktsysteme, Linien, Flächen usw., die von einer gewissen 
Anzahl von Parametern abhängen, einführt. Man kann so der 
zugrunde gelegten Mannigfaltigkeit eine beliebige Anzahl von 
Dimensionen erteilen; aber es entsteht dadurch keine andere 
Geometrie, wenn man die vorher benützte Gruppe beibehält. 
Erst wenn man der Wahl des Raumelements entsprechend 
auch eine andere geeignete Gruppe der Mannigfaltigkeit ad- 
jungiert, wird die Geometrie eine wesentlich andere. Dies muß 
vor allem bei Übertragungen (Abbildungen) berück 
sichtigt werden. Man kann z. B. die Strahlengeometrie des 
Raumes in die Ebene übertragen, indem man einem Strahl 
einen Kegelschnitt zuordnet, der ja ebenfalls von sechs Kon 
stanten abhängt, die einer quadratischen Gleichung genügen. 
Aber die Abbildung wird erst wirklich eine solche, wenn man 
nicht die Hauptgruppe oder die projektive Gruppe der Ebene 
adjungiert, sondern die Gruppe aller linearen Transforma 
tionen der sechs Parameter des Kegelschnittes, die eine homo 
gene quadratische Gleichung dieser sechs Größen in sich über 
führt. 
Es sollen nun die gebräuchlichen geometrischen Be 
handlungsweisen ihren Transformationsgruppen ent 
sprechend zueinander in Beziehung gesetzt werden. 
Die Elementargeometrie und die ihr zugeordnete 
Hauptgruppe wurden bereits berührt. 
Das nächste umfassendere System ist die projektive 
Geometrie. Sie setzt voraus, daß man eine ursprüngliche 
Figur und alle aus ihr projektivisch ableitbaren als wesentlich 
identisch betrachtet und die beimProjizieren übertragenenEigen- 
schaften so formuliert, daß ihre Unabhängigkeit von den beim 
Projizieren auf tretenden Änderungen in die Erscheinung tritt. 
Damit ist der Geometrie die projektivische Gruppe zugrunde 
gelegt. Diese Geometrie kann noch dadurch erweitert werden,