Fiktionen in der Mathematik
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daß man einerseits die dualistischen Umformungen,
andererseits imaginäre Elemente und Transforma
tionen mit in den Kreis der Betrachtungen zieht. Erst durch
letztere Erweiterung ist der genaue Anschluß der Raumlehre
an das Gebiet der algebraischen Operationen ermöglicht 365 ).
Der Grund für letztere Erweiterung liegt eben in der Be
trachtung algebraischer Operationen, nicht in der Gruppe der
projektiven und dualistischen Transformationen, denn diese
Gruppe besteht auch unabhängig von imaginären Elementen
und andererseits kann man solche einführen, ohne auf pro
jektivem Standpunkt zu stehen.
Während es nun anfänglich schien, als wären metrische
Beziehungen der projektivischen Behandlungsweise nicht
zugänglich, lehrten die Arbeiten von C a y 1 e y 368 ) und
Beltrami 367 ), daß auch auf projektivischem Standpunkt
eine Metrik möglich ist. Die metrischen Eigenschaf -
t e n erscheinen nur nicht mehr als Eigenschaften der räum
lichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen der
selben zu einem Fundamentalgebilde.
Man kann nämlich auf der Geraden eine projektivi-
sche Maßbestimmung, ausgehend von zwei (reellen
oder imaginären) Fundamentalpunkten, so einführen, daß der
Abstand irgend zweier Punkte als der mit einer willkürlichen,
aber bestimmten Konstanten multiplizierte Logarithmus des
Doppel Verhältnisses der vier Punkte erscheint 388 ). Entspre
chend ist in der Ebene ein Kegelschnitt, im Raum eine Fläche
zweiten Grads zugrunde zu legen.
Schon Poncelet bemerkte, daß für eine allgemeine Auf
fassung die Kreise der Ebene und die Kugeln des Raumes als
Kegelschnitte bzw. Flächen zweiten Grades angesehen werden
können, die mit dem oo Weiten ein bestimmtes, durch eine
quadratische Gleichung gegebenes imaginäres Gebilde gemein
haben.
C a y 1 e y erkannte, daß damit ein Mittel gegeben sei, die
Trennung der Geometrie in zwei fremde Disziplinen wieder
rückgängig zu machen. Alle Maßbeziehungen geometrischer