Fiktionen in der Mathematik 
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B. Punktepaare: 
3. u 2 + u„ 2 = o imaginäres Punktepaar 1 . „ , . , 
. , „ „ _ , , > emtach spezialisiert 
4. u, 2 — u 2 J = o reelles Punktepaar j 
C. Einzelner, doppeltzählender Punkt; 
5. u 1 2 = o zweifache Spezialisierung. 
Für Jeden dieser fünf Fälle kann man nun eine Abstands 
formel auf stellen; es ergeben sich so fünf verschiedene Maß 
geometrien in der Ebene, von denen nur eine (Fall 3) von der 
elementaren Metrik her bekannt ist. Den Inbegriff aller fünf 
Theorien nennt man die allgemeine Lehre von der 
projektiven Maßbestimmung; sie erweist sich als 
die einfachste Grundlage der Nichteuklidischen Geometrie, 
da sie die verschiedenen Systeme Nichteuklidischer Geometrie 
ebenso umfaßt wie die gewöhnliche metrische. 
Diese Ansätze lassen sich auf mehr Variable übertragen. 
So kann man für den speziellen Fall der vier Veränderlichen 
x, y, z, t wieder die Lehre der projektiven Maßbestimmung 
entwickeln, dann zeigt sich, daß sich das System der Mechanik 
dieser einordnet, und zwar das der klassischen Mechanik 
ebenso wie das der neuen Mechanik von Lorentz, Einstein und 
Minkowski 389 ). 
Die klassische Mechanik geht von dem zweifach spezia 
lisierten System 
x s — °; x 4 = o; V + x 2 2 + x 3 2 = o 
aus; eine affine Gruppe mit zwölf Parametern gibt die äqui- 
formen, eine solche mit zehn Parametern die kongruenten 
Transformationen. 
Die neue Mechanik nimmt ihren Ausgang von dem einfach 
spezialisierten System 
x. = o; Xj 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 = 0; 
die äquiformen Transformationen sind wieder affin und bilden 
eine Gruppe mit elf Parametern. Die kongruenten Trans 
formationen erhält man, wenn die Transformationsdeter 
minante = + 1 ist, sie bilden also eine Gruppe mit zehn Para-