Fiktionen in der Mathematik 
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Die Forschungen Beltramis haben ergeben, daß man in 
einer Mannigfaltigkeit von konstantem Krümmungsmaß die 
Variabeln so wählen kann, daß die geodätischen Linien durch 
lineare Gleichungen dargestellt werden und daß dasselbe für 
die Transformationen gilt, welche die Maßverhältnisse unge- 
ändert lassen. Die Gruppe, die man der Mannigfaltigkeit durch 
die Forderung konstanten Krümmungsmaßes adjungiert, muß 
also in der Gruppe der linearen Transformationen enthalten 
sein. 
Die Maßbestimmung selbst fällt mit der projektiven zu 
sammen, die man nach Cayleys Vorgang unter Zugrunde 
legung einer quadratischen Gleichung aufbauen kann. 
Mit der projektivischen Behandlungsweise stehen die Geo 
metrie der reziproken Radien und die Liniengeometrie im 
engsten Zusammenhang. 
In der projektiven Geometrie sind Punkt, Gerade und 
Ebene Grundgebilde, Kreis und Kugel nur Spezialfälle von 
Kurven bzw. Flächen zweiten Grades. Das oo Ferne erscheint 
als Ebene; das Fundamentalgebilde der elementaren Geo 
metrie ist der oo ferne imaginäre Kugelkreis. 
In der Geometrie der reziproken Radien erscheinen Punkt, 
Kreis und Kugel als Elementargebilde; Gerade und Ebene 
sind dadurch charakterisiert, daß sie das oo ferne Element, 
einen Punkt, enthalten. Die Elementargeometrie ergibt sich, 
wenn man diesen Punkt fest denkt. 
Nun kann man die Elementargeometrie mit der projektiven 
Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades in Beziehung 
setzen; hält man auf dieser Fläche einen Punkt fest, so sind 
von unserem Standpunkt aus beide identisch. Sieht man von 
dem ausgezeichneten Punkt ab, so gibt die projektive Geo 
metrie auf der Fläche zweiten Grades ein Bild der Geometrie 
der reziproken Radien in der Ebene. Entsprechend ist die 
Geometrie der reziproken Radien im Raum gleichbedeutend 
mit der projektiven Behandlungsweise einer Mannigfaltigkeit, 
die durch eine quadratische Gleichung zwischen fünf homo 
genen Veränderlichen dargestellt wird.