Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
In der Liniengeometrie 371 ) betrachtet man die gerade 
Linie als Raumelement und definiert sie durch sechs homo 
gene Koordinaten p ik , die an die Bedingung geknüpft sind: 
^ " Pis P34 d - P13 P42 H - P14 P23 = d. 
Betrachtet man die p ik als unabhängig veränderlich, so kon 
stituieren sie einen Raum von fünf Dimensionen, Rb. Aus 
diesem Raum wird die von den Geraden gebildete Mannig 
faltigkeit von vier Dimensionen durch vorstehende quadra 
tische Gleichung ausgeschieden. Man kann daher die Linien 
geometrie in ähnlicher Weise analytisch behandeln wie die 
Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades. Die linearen und 
dualistischen Transformationen des Raumes erscheinen als 
diejenigen linearen Transformationen der unabhängigen sechs 
Veränderlichen, welche die Bedingungsgleichung in sich über 
führen. 
Die Gesamtheit der Geraden bildet eine M 4 2 im R 5 . Die Geo 
metrie dieser M 4 steht zur metrischen Geometrie im R 4 im 
selben Zusammenhang wie die Geometrie einer F 2 im R 3 mit 
der metrischen Geometrie im R 2 372 ). 
Die Strahlengeometrie von E. Study 373 ) hat die Gruppe der 
dual- (bzw, radial-) projektiven Transformationen zur Grund 
lage. 
Unter den allgemeineren Gruppen von Punkt 
transformationen ist zunächst die Gruppe der 
rationalen Umformungen zu nennen. Für die Geo 
metrie auf der Geraden ist die Gruppe identisch mit den 
linearen Transformationen, in der Ebene stellt sie etwas 
Neues dar. Man kennt in der Ebene die Gesamtheit der ratio 
nalen Umformungen, der Cremonaschen Transfor 
mationen 374 ), sie lassen sich durch Zusammensetzung 
quadratischer Transformationen erzeugen. Aber die ganze 
ebene Geometrie ist noch kaum unter dem einheitlichen Ge 
sichtspunkt dieser Gruppe behandelt, wie etwa die Geometrie 
der projektiven Gruppe; im Raum ist die Theorie erst im Ent 
stehen. 
Betsch. 
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