Fiktionen in der Mathematik
In der Analysis situs sucht man das Bleibende gegen
über solchen Umformungen, die man Deformationen des
Raumes nennt; sie lassen sich aus oo kleinen reellen
Raumtransformationen zusammensetzen.
Bei der allgemeinen Gruppe aller Punkt
transformationen hat keine Fläche mehr individuelle
Eigenschaften, da jede in jede andere übergeführt werden
kann. Aber gewisse Gebilde höherer Art können durch solche
Transformationen untersucht werden; zu ihnen gehören vor
allem homogene Differentialausdrücke, partielle Differential
gleichungen usw.
Eine Punkttransformation im oo kleinen Ge
biet des Raumes hat immer den Wert einer linearen
Transformation; insofern ist die projektive Anschauungsweise
gegenüber den andern ausgezeichnet.
Die projektive Gruppe selbst geht aus der Gruppe aller
Punkttransformationen durch Adjunktion aller Ebenen her
vor, wie die Elementargeometrie aus der projektivischen
durch Adjunktion des oo fernen Kugelkreises.
Der Gruppe aller Punkttransformationen stellen wir noch
die Gruppe aller Berührungstransformatio
nen unter Beschränkung auf den Punktraum von drei
Dimensionen gegenüber.
Durch Anwendung aller Berührungstransformationen 373 ) kann
jeder Punkt in jeden Punkt, jede Linie und jede Fläche über
geführt werden. Soll die Behandlung nicht einseitig sein, so
muß man als Raumelement das Flächenelement, defi
niert durch x, y, z, p, q, einführen. Bezeichnet man die Be
ziehung zweier konsekutiver Elemente x, y, z, p, q und x-f dx,
y-j-dy,z-(-dz, p-j-dp,q + dq, die durch dz — pdx — qdy
= 0 dargestellt wird, als vereinigte Lage der beiden
Elemente, so sind Punkt, Kurve und Fläche übereinstimmend
zweifach oo Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes
mit den einfach oo vielen ihm benachbarten vereinigt liegt.
Diese Eigenschaft ist invariant gegenüber der Gruppe aller
Berührungstransformationen. Umgekehrt läßt sich diese so
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