Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
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definieren; Es sind die Substitutionen der x, y, z, p, q, durch 
die dz — pdx — q d y = 0 in sich übergeführt wird. 
Gegenstand der Untersuchung sind besonders Mannigfaltig 
keiten, die durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen den 
Variablen x, y, z, p, q dargestellt sind, also partielle Differen 
tialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. 
Durch Einführung des Begriffes Konnexelement 
(Clebsch) lassen sich die Gruppen aller Berührungstrans 
formationen, aller Punkttransformationen und aller projek 
tiven Umformungen in einheitlicher Weise charakterisieren. 
Versteht man unter Konnexelement die Vereinigung eines 
Flächenelements mit einem in ihm gelegenen Linienelement, 
und nennt konsekutive Konnexelemente vereinigt gelegen, 
wenn Punkt und Linienelement des einen im Flächenelement 
des andern enthalten sind, so gilt: 
Bei den Berührungstransformationen bleibt die vereinigte 
Lage konsekutiver Flächenelemente, bei den Punkttransfor 
mationen die von Linienelementen, bei linearen und dualisti 
schen Transformationen die von Konnexelementen erhalten. 
Suchen wir nun aus den vorstehenden Darlegungen die auf 
das Fiktionsproblem bezüglichen Schlüsse zu ziehen, so sehen 
wir uns genötigt, die Fragestellung der reinen Mathematik 
von der der angewandten Mathematik zu trennen. 
Vom Standpunkt der reinen Mathematik aus wird man ge 
neigt sein, diese geometrischen Systeme als gleichberechtigt 
zu betrachten, denn sie sind alle in derselben Weise als wider 
spruchsfrei zu bezeichnen. Gerade dabei machen wir aber 
einige Grundvoraussetzungen; wir nehmen die Zahlen und 
gewisse Sätze der Analysis als unbedingt widerspruchsfrei an. 
Daraus ergibt sich die Tragweite der Entscheidung der 
Frage, ob die Grundvoraussetzungen der Zahlenlehre empi 
rischer oder apriorischer Natur seien; wir werden uns daher 
in den folgenden Kapiteln noch eingehender mit dem Aufbau 
der Zahlenlehre und der Analysis zu beschäftigen haben. Wer 
die unbedingte Gültigkeit der Axiome der Arithmetik nicht an 
erkennt, sondern diese sowie die fundamentalen Sätze der