Fiktionen in der Mathematik 
Logik als empirische Sätze betrachtet, wird alle diese geo 
metrischen Systeme in gewissem Sinn als Fiktionen be 
trachten müssen; denn von direkten Beziehungen zu der sinn 
lichen Erfahrung, die als Prüfstein dienen könnte, sind wir 
hier sehr weit entfernt (Fiktionstypus Ci). 
Man kann aber auch von ganz anderer philosophischer Ein 
stellung aus dazu kommen, die meisten der hier entwickelten 
geometrischen Systeme für Fiktionen zu halten, Fragen wir 
nämlich, ob es sich bei diesen mathematischen Systemen über 
haupt noch um Geometrie handelt, so werden wir verschiedene 
Antworten erhalten. Wenn man, wie Natorp und Nelson, gerade 
die Axiome der Euklidischen Geometrie als synthetisch aprio 
risch auffaßt, wird man zwar zugeben, daß die hier entwickel 
ten Geometrien logisch widerspruchsfrei seien, wird aber ihre 
Existenz bestreiten. Nach dieser Auffassung sind es eben die 
alogischen Elemente, die aus der reinen An 
schauung des Raumes stammen, die den Axiomen der 
Euklidischen Geometrie, und damit dieser selbst, ihre Existenz 
sichern. Die andern Geometrien, insbesondere die auf mehr 
als drei Dimensionen bezüglichen, sind so als unwirklich, als 
fiktiv zu betrachten (Fiktionstypen As und Ai). 
Eine ganz andere Richtung erkennt zwar an, daß die Grund 
voraussetzungen der Arithmetik und Analysis apriorischer 
Natur seien, will aber die Geometrie gar nicht mehr als Gebiet 
der reinen Mathematik anerkennen. Wenn man annimmt, daß 
neben den rein anschaulichen, aber apriorischen Elementen 
der Zahlenlehre noch weitere Elemente der Anschauung des 
Raumes entnommen werden müssen, um die Axiome aufstellen 
zu können, betrachtet aber alles, was der räumlichen An 
schauung entspringt, als empirisch, so wird man den hier 
angeführten Systemen den Namen Mannigfaltigkeitslehre 
geben können, aber nicht von eigentlicher Geometrie reden. 
Die eigentliche Geometrie erscheint dann als ein Stück an 
gewandter Mathematik. Die Geometrie der Räume von vier 
und mehr Dimensionen usw. hat dann nur arithmetische 
Bedeutung. So sagt O. Holder 370 ): 
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