Die natürlichen Zahlen
229
anwendbar ist; Russell nennt deshalb die „natürlichen Zahlen“
auch „induktive Zahlen“.
Nunmehr wendet sich Russell dem Reihencharakter
der natürlichen Zahlen zu. Die Ordnung liegt nicht in der
Menge der Elemente, sondern in einer Beziehung zwischen
den Gliedern der Menge, durch welche die einen als früher
und die anderen als später erscheinen. Welche Eigenschaften
muß eine Beziehung haben, um eine Ordnung hervorbringen
zu können? Russell stellt drei solche fest:
a) sie muß asymmetrisch sein, d. h. wenn sie zwischen
x und y besteht, kann sie nicht auch zwischen y und x be
stehen;
b) sie muß transitiv sein, d. h. wenn sie zwischen
x und y, ebenso zwischen y und z besteht, dann muß sie auch
zwischen x und z bestehen;
c) sie muß zusammenhängend sein; von irgend zwei
Elementen der Menge muß eines vorangehen, das andere
folgen.
- Russell zeigt, daß jede Beziehung, die diese drei Eigen
schaften aufweist, eine Ordnung unter den Elementen, zwi
schen denen sie besteht, hervorbringt, und umgekehrt, wo eine
Ordnung besteht, kann eine Beziehung mit diesen drei Eigen
schaften aufgefunden werden, die sie erzeugt. Deshalb nennt
er eine Beziehung, die asymmetrisch, transitiv und zusammen
hängend ist, eine Reihenbeziehung.
Die hier zur Anwendung gekommene Beziehung gibt Russell
Veranlassung, in eine Untersuchung der Beziehungen über
haupt einzutreten. Wie man nun die Mengen in Bündel ähn
licher Mengen zusammenfassen und jedem solchen Bündel
eine Zahl zuordnen kann, so lassen sich die Beziehungen in
Gruppen ähnlicher Beziehungen zusammenfassen, und man
kann dann die Gesamtheit aller einer gegebenen Beziehung ähn
lichen Beziehung ihre „Zahl“ nennen. Um diese Zahl aber
nicht mit den zu den Mengen gehörigen Zahlen zu verwech
seln, nennt sie Russell „Beziehungszahlen“; sie finden vor
allem bei den Reihen Anwendung.