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Zahl
4. Die Begriffe Zahl und Ordnung sind bei Russell streng ge
schieden, und zwar erscheint der Zahlbegriff als der ursprüng
lichere. Während manche Mathematiker den Standpunkt ver
treten, daß die Ordnungszahl der Kardinalzahl vorausgehe, ja
sogar die einzig ursprüngliche und apriorische sei, trennt also
Russell den Zahlbegriff vom Ordnungsbegriff und definiert die
Kardinalzahl vor der Ordnungszahl und unabhängig von ihr.
5. Man kann nun die Kardinalzahlen selbst auf zwei Arten
darstellen, entweder als voneinander unabhängig und ge
trennt, oder indem man sie auseinander durch wiederholtes
Zufügen der Einheit entstehen läßt; so bilden sie die natür
liche Zahlenreihe. Couturat hat für die erste Auffassung die
Bezeichnung Kardinaltheorie eingeführt, die zweite
nennt er Ordinaltheorie 392 ). Nach seiner und Russells
Auffassung muß wieder die Kardinaltheorie der Ordinaltheorie
vorausgehen. Beide Theorien können einander übrigens nicht
vertreten, sondern ergänzen sich gegenseitig. Nach Ansicht
dieser Forscher ruht die zweite Theorie auf der ersten, was die
Behauptung der Unabhängigkeit des Zahlbegriffs (der Kar
dinalzahl) vom Ordnungsbegriff bestätige. Da die Definition
der Zahl durch das Aufeinanderfolgen selbst nur für endliche
Zahlen gilt, Russell aber eine Definition der Zahl sucht, die
endliche und unendliche Zahlen umfaßt, muß er schon aus
diesem Grund von der Kardinaltheorie ausgehen.
G. Hessenberg sagt in seiner Schrift „Vom Sinn der
Zahlen“: Die Zahlen entstehen durch eine Vergleichung, und
jede Vergleichung ist ein Abstraktionsakt. Die spezifisch
mathematischen Abstraktionen unterscheiden sich von denen
des täglichen Lebens nur graduell; ein qualitativer,
im Wesen der Sache verankerter Unterschied liegt nicht
vor.
Er geht daher ohne Bedenken von gewissen Beziehun
gen des täglichen Lebens aus, um schließlich aus ihnen zwei
herauszuheben, die für die Konstituierung des Zahlbegriffs
wesentlich sind. So findet er, daß der Stamm „gleich“ im
Namen einer Beziehung nur verkommen darf, wenn diese
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