Die natürlichen Zahlen
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Damit aber, daß wir eine Menge nicht einer beliebigen
andern ihr ähnlichen Menge zuordnen, sondern einer ähn
lichen Menge von Zahlzeichen, bei denen wir von jedem wis
sen, welche andern ihm vorausgehen, können wir nun Über
einkommen, das letzte bei der ein-eindeutigen Zuordnung zur
Verwendung kommende Wort und die Anzahl aller Zahl
zeichen bis zu diesem einander zuzuordnen; d. h. dieser An
zahl eben den Namen jenes letzten Zahlzeichens zu geben.
„Und damit haben wir für alle endlichen Anzahlen auf
einen Schlag gleichzeitig Namen und Repräsentanten auf
gestellt“ 395 ). Fängt man in der Reihe der Zahlzeichen mit 0
anstatt mit 1 an, dann ist der Repräsentant der Anzahl, die
ein Zahlzeichen ausdrückt, die Anzahl der ihr vorangehenden
Anzahlen, Also: „Der Größencharakter der Anzahlen ordnet
sie derart in eine Reihe, daß jede Anzahl die Anzahl der ihr
vorangehenden Anzahlen ist.“
Wir sehen, daß auch Hessenberg die Zuordnung von Mengen
in ein-eindeutiger Weise und damit den Begriff ähnlicher
Mengen für logisch einfacher hält als den Begriff der Zahl.
Wenn er auch keine logische Definition der Zahl selbst gibt,
so ist für ihn der Ausgangspunkt doch wie für Russell die
Menge und die Ähnlichkeit von Mengen. Erst die Absicht, ge
eignete Repräsentanten für die einzelnen Bündel ähnlicher
Mengen aufzustellen, führt zur Konstruktion der Zahlenreihe,
eines Gebildes, das in derselben Weise Repräsentanten für alle
endlichen Mengen abgeben kann. Daß dieses Gebilde zugleich
eine Ordnungsbeziehung darstellt, macht es zu einem ungleich
brauchbareren Instrument, hat aber mit dem Zweck des ein
zelnen Zahlzeichens, Repräsentant eines Bündels ähnlicher
Mengen zu sein, logisch nichts zu tun. Wollte man dies nur
erreichen, so könnte man jedem dieser Bündel als Zeichen
irgendein völlig sinnloses Wort zuordnen. Als Glieder der
Zahlenreihe aber können die einzelnen Zahlzeichen nicht mehr
sinnlos sein, denn sie sind nach einem bestimmten Gesetz ge
bildet, in dem als wesentliches Moment die Ordnungsbeziehung
auftritt.
