Fiktionen in der Mathematik 
O. H ö 1 d e r meint, es sei gewiß das Natürlichste, wenn man 
4- als denjenigen Wert definiere, dessen Dreifaches gleich der 
O 
Einheit ist; aber die Einheit der Zählung lasse sich an und für 
sich nicht teilen. Nur im Gebiet der Messung sei das Drittel ein 
klarer Begriff. 
Holder äußert gelegentlich die Ansicht, daß die gebrochenen 
Zahlen nicht entwickelt worden wären, wenn nicht aus 
gedehnte Größen vorhanden wären, die sich teilen lassen. Er 
glaubt, daß sich auf solchen erfahrungsmäßigen Tatsachen 
auch eine strenge Begründung der Arithmetik aufbauen ließe, 
wenn man gewisse Tatsachen in genau bestimmter Form 
postulieren, also gewissermaßen als Axiome ansehen würde. 
Für seine Begründung der Arithmetik geht er dann aber doch 
einen andern Weg; er spricht von abstrakter Begrün 
dung. Ein strenger arithmetischer Beweis für die Wider- 
spruchslosigkeit der Bruchrechnung muß nach seiner Ansicht 
rein arithmetisch geführt werden. 
Holder sieht den „Bruch“ ^ lediglich als eine Form an, 
an der außer den (absoluten) ganzen Zahlen a und b und den 
Plätzen, die von diesen eingenommen werden, nichts beob 
achtet werden kann. Dann setzt er durch Definition fest, daß 
dann und nur dann 
a a' a' ^ a 
b = b 7 ^ = b~’ 
genannt werden soll, wenn ab'< ba' ist. Die Gleichheit zweier 
Brüche erscheint so als ein willkürlich angenommener Äqui 
valenzbegriff; deshalb ist es nicht selbstverständlich, daß, 
falls ein Bruch einem zweiten und dieser einem dritten gleich 
ist, auch der erste dem dritten gleich sein muß. Holder führt 
aus seiner Definition den Beweis, daß das tatsächlich gilt. 
Ferner ergibt sich aus seiner Definition, daß 
a a X c . ,