Die Erweiterungen des Zahlbegriffs
Betsch.
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rationalen Zahlen ganz auf die natürlichen Zahlen fundiert.
Er sagt:
Wo uns immer der Ausdruck begegnet „es gibt eine ratio
nale Zahl von der und der Beschaffenheit“ bedeutet er: es gibt
vier natürliche Zahlen m, n, p, q, so daß die rationale Zahl
— -f- — jene Eigenschaft besitzt. Ein Bereich von rationalen
n q
Zahlen ist eine vierdimensionale Menge natürlicher Zahlen.
Eine vom bisherigen wesentlich abweichende Auffassung
der Zahlerweiterungen finden wir bei G. Heymans. Da sie in
gleicher Weise sich auf die irrationalen und komplexen wie
auf die negativen und gebrochenen Zahlen bezieht, leitet sie
uns zu jenen beiden heißumstrittenen Zahlentypen hinüber.
Heymans betrachtet als eigentliche Zahlen nur die ganzen
positiven Zahlen und nach seiner Meinung läßt sich nur an
diesen verständlich machen, was die Zahlgesetze, was Ad
dieren, Multiplizieren usw. bedeuten. Es sei vollkommen klar,
was es heiße, eine Zahl n zweimal nehmen, aber es sei nicht
einzusehen, was es heißen soll, eine Zahl (—2)mal, 1 Umal,
ylTmal, oder y —1 mal nehmen. Das Multiplizieren sei eben
eine Operation, welche ihrer Natur nach nur mit Zahlen und
mit nichts anderem ausgeführt werden könne. „Mit etwas,
welches keine zählbare Zahl ist, multiplizieren, hat einfach
keinen Sinn“ 412 ). Heymans kann sich daher mit der Art, wie
negative, gebrochene, irrationale und imaginäre Zahlen meist
eingeführt werden, nicht einverstanden erklären.
Er sagt, daß sich der Gegensatz des Positiven und Negativen
nicht auf die Zahl, sondern auf das Gezählte beziehe; wenn a
eine beliebige Relation oder einen beliebigen Übergang vor
stellt, so bedeutet — 3 a nicht, daß dieser Übergang — 3mal,
sondern, daß 3mal ein anderer, diesem entgegengesetzter
Übergang zustande gebracht werden muß. Ausdrücke wie etwa
3 a und — 5 a beziehen sich demnach auf verschiedene
Einheiten; aus dieser Auffassung ergeben sich nach seiner
Meinung leicht die Rechenregeln. Ähnlich soll es sich mit den
gebrochenen Zahlen verhalten; auch hier habe man es ur