Fiktionen in der Mathematik
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sprünglich mit verschiedenartigen Einheiten, also mit Exem
plaren verschiedener Begriffe zu tun und zwar mit solchen,
die die Eigenschaft besitzen, daß n Einheiten der einen Art
mit einer Einheit der andern Art äquivalent sind. Die Brüche
sollen also wie die negativen Zahlen benannte Zahlen sein.
„Für die irrationalen und imaginären Zahlen gilt das näm
liche. Auch hier ist es im Grunde nicht die Zahl, sondern die
Einheit, welche ihre Natur ändert: wenn in der Geometrie
a eine beliebige Einheitsstrecke bedeutet, so sind aj^sT und
a Y~ 1 andere Einheiten, welche sich rein arithmetisch in
jene erstere nicht ausdrücken lassen, sondern deren Bedeu
tung geometrisch durch Hinweisung auf das Längenverhältnis
zwischen Kathete und Hypotenuse im rechtwinkligen gleich
schenkligen Dreieck, oder auf das Richtungsverhältnis ver
schiedener Achsen erklärt werden muß. — Überall, wo die
Zahlenreihe eine Erweiterung zu erfahren scheint,
haben wir es demnach ursprünglich mit verschiedenartigen,
aber in Beziehung aufeinander bestimmten Einheiten zu tun;
wo solche Einheiten vorliegen, bietet die Einführung der nega
tiven, gebrochenen, irrationalen und imaginären Zahlen kein
Problem. Es fragt sich nur, aus welchen Gründen der Mathe
matiker sich berechtigt glaubt, das erweiterte Zahlsystem
ganz allgemein, ohne zu fragen, ob die Einheiten, mit wel
chen er sich zur Zeit beschäftigt, andere von der Form —a,
~ aj/12 oder aj^—1 neben sich zulassen, seinen Operationen
zugrunde zu legen“ 413 ). Heymans meint, wenn der Mathematiker
die Bedingungen, denen eine gesuchte Lösung genügen muß,
in Formeln bringe, so nehme er darunter ausdrücklich oder
stillschweigend auch die Bedingung auf, daß gewisse Zahlen
nicht negativ, gebrochen, irrational oder imaginär werden
dürfen, um so von vornherein die Möglichkeit auszuschließen,
daß Zahlen, denen keine reelle Bedeutung zukäme, im Resultat
verkommen sollten usw.
Bei den Transformationen und Verbindungen, die die Arith
metik mit den Zahlgleichungen dann vornehme, werde „nun