Fiktionen in der Mathematik 
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Man kann die Schnitte selbst in eine gewisse Größenordnung 
bringen: Sind zwei Schnitte (erster oder dritter Art) a = (A/B) 
und a — (A'/B') vorgelegt, und enthält die Klasse A' nur 
Zahlen aus A, die Klasse A nur Zahlen aus A', so sind die 
Klassen A und A' identisch und daher auch die Schnitte, also 
a — d. Tritt aber dieser Fall nicht ein, so sind die Schnitte 
a und a verschieden und es enthält entweder A' wenigstens 
eine Zahl aus B, oder A eine Zahl aus B'. Wir definieren nun: 
Wenn die Klasse A' eine und folglich unendlich viele Zahlen 
von B enthält, so heißt a kleiner als d und d größer als cd 
in Zeichen 
a < a'; a' > a. 
Sind a = (a±, a 2 .../bi, b 2 ...), d = (a/, a 2 '.. .fb± W...) zwei 
beliebige Schnitte (erster oder dritter Art), so betrachten wir 
die Menge B" derjenigen Zahlen, die sich in der Form b } + hj' 
darstellen lassen. Diese Menge hat folgende Eigenschaften: 
1. Sie enthält keine kleinste Zahl, weil unter den Zahlen 
bj und bj' sich keine kleinste findet. 
2. Nicht jede Zahl gehört ihr an. Denn die Zahl ai-f- ai' ist 
z. B. nicht in der Form b t -f-b/ darstellbar, weil ai < bj und 
a' t < b / ist. 
3. Ist c eine Zahl der Menge, so gehört auch jede größere 
Zahl zur Menge. Denn, wenn c^bj + b/ ist, so hat jede 
Zahl ci, die > c ist, die Form Ci — b £ d, wo d > b/ ist. Aber 
eine Zahl, die > b/ ist, muß selbst zur Oberklasse von d ge 
hören, so daß d = einem b k ' sein muß; daher ist Ci = b.-}-b k '. 
Daher muß B" die Oberklasse eines eindeutig bestimmten 
Schnittes d' sein, der von der ersten oder dritten Art ist. 
Diesen Schnitt d' nennt man die Summe der Schnitte a und d- 
In analoger Weise läßt sich die Differenz zweier Schnitte 
definieren 421 ), ebenso das Produkt und der Quotient, wobei für 
die Division nur festzusetzen ist, daß durch den Schnitt 6 
nicht dividiert werden darf. Dabei verstehen wir unter dem 
Schnitt 6 die Klasseneinteilung aller rationalen Zahlen, bei 
der die Unterklasse alle negativen Zahlen und als oberste noch 
die Zahl 0 enthält, die Oberklasse aber alle Rationalzahlen > 0.