Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
267 
Arithmetik der Schnitte nicht nur mit der Arithmetik der 
rationalen Zahlen in formaler Übereinstimmung, sondern sie 
enthält auch ein umkehrbar eindeutiges Abbild 
der Arithmetik der rationalen Zahlen als Teil 
in sich. 
Es steht daher nichts im Wege, den Schnitten erster Art den 
Namen Zahlen beizulegen, und zwar bezeichnen wir sie als 
rationale Zahlen; ebenso können dann die Schnitte 
zweiter Art als rationale Zahlen angesprochen werden. Dann 
erscheint es aber als natürlich, auch den Schnitten dritter Art 
den Namen „Zahl“ zu geben, und zwar sollen sie im Unter 
schied von den beiden anderen „irrationale Zahlen“ 
heißen. Wir haben damit den Zahlbegriff erweitert, aber in 
durchaus legitimer Weise. Die hier noch unterschiedenen 
rationalen und irrationalen Zahlen fassen wir unter dem 
Namen „reelle Zahlen“ zusammen. 
Als vor rund 100 Jahren durch Gauß, Cauchy, Abel u. a. die 
Forderung strengerer Beweisführungen in der Mathematik er 
hoben wurde, war es vor allem der Begriff des Grenzwerts 
einer Zahlenfolge, der für die Begründung der Analysis in 
seiner fundamentalen Bedeutung erkannt wurde. Cauchy faßte 
nun die irrationalen Zahlen einfach selbstverständlich als 
Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen auf. Er stellte sogar 
den Satz auf: „Damit die Folge ai, a 2 , a 3 ... einen Grenzwert a 
hat, ist notwendig und hinreichend, daß die a n sich von a, also 
voneinander beliebig wenig unterscheiden.“ Dieser Satz ist 
tatsächlich von grundlegender Bedeutung, aber Cauchy blieb, 
ohne sich dessen bewußt zu werden, den Beweis dafür schul 
dig, daß die Bedingung wirklich hinreichend ist. Ohne eine 
klare Definition der Irrationalzahlen hätte er den Beweis ja 
auch nicht führen können, weil im Bereich der rationalen 
Zahlen der Satz nicht richtig ist; denn eine Folge rationaler 
Zahlen hat oft keinen rationalen, sondern einen irrationalen 
Grenzwert. 
B. Bolzano erkannte die Notwendigkeit eines Beweises 
dieses Satzes klar, da ihm aber eine Definition der irrationalen