Die Erweiterungen des Zahlbegriffs
Diese beruhen darauf, daß ihre Zeichen etwas bedeuten,
Schachfiguren aber nicht; damit verlasse man aber den Boden
der formalen Arithmetik. Thomae ist jedoch der Ansicht, die
Frage nach der Bedeutung der Zahlzeichen liege außerhalb
des Gebiets der Arithmetik, sie komme erst bei den Anwen
dungen in Betracht. Im übrigen wahrte er den Standpunkt der
formalen Arithmetik selbst nicht streng, sondern begründete
die Arithmetik der natürlichen Zahlen inhaltlich. Dann
sagt er aber: „Da für die Weiterbildung des Zahlenbegriffs
doch an einer gewissen Stelle einmal die formale, von Be
ziehungen auf Sinnesobjekte freie Auffassung eintreten muß,
so entscheiden wir uns für dieselbe schon bei den negativen
und gebrochenen Zahlen,“
Ganz abgesehen von der formalen Auffassung greift Frege
diesen Satz schon deshalb an, weil er es für falsch hält, jede
Auffassung der Zahlen, die diese nicht zu Sinnesobjekten in
Beziehung setzt, eine formale zu nennen... Zahlzeichen brau
chen nichts Sinnliches zu bedeuten, sind deshalb aber noch
nicht bedeutungslos 432 ).
Wir verzichten auf eine weitere Kritik der Thomaeschen
Theorie, bemerken aber noch, daß diese rein formale Auf
fassung nicht folgerichtig durchgeführt ist und wohl auch
nicht durchgeführt werden kann. Denn stellen wir uns einmal
auf den Standpunkt, die reellen Zahlen einfach implizite
durch die Grundsätze 1 bis 21 und die beiden Sätze I und II
zu definieren als die Gebilde, deren Verknüpfungen durch
diese Formeln und Sätze axiomatisch festgelegt sind,
wobei es in der Arithmetik (in der formalen) nicht darauf an
kommt, was die Zahlen sind, sondern nur auf die in den
Axiomen festgelegten Beziehungen, so können wir zwar aus
diesen Voraussetzungen und der rekurrenten Erzeugungs
weise der positiven ganzen Zahlen eine Arithmetik entwickeln,
ohne auf eine Definition der irrationalen Zahlen zurückzu
greifen. Aber die Axiome, die übrigens nicht alle voneinander
unabhängig sind, müssen widerspruchslos sein. Um die Wider-
spruchslosigkeit eines Systems geometrischer Axiome zu er-
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