Fiktionen in der Mathematik
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weisen, hat man das Mittel, es auf ein System von Zahlen
zurückzuführen. Da uns hier ein analoges Verfahren nicht zur
Verfügung steht, können wir die Widerspruchslosigkeit nicht
anders beweisen, als indem wir wirklich ein System von
Zahlen konstruieren, das in sich widerspruchslos ist und das
den vorgelegten Axiomen genügt. Die Aufstellung eines sol
chen Zahlensystems kann deshalb nicht entbehrt werden 433 ).
Unter den Theorien, die sich der Cantorschen unterordnen
lassen, soll noch die von P. Bachmann erwähnt werden.
Bachmann verwendet zwei rationale Zahlenfolgen, die eine
ai, aa, a 3 ... monoton wachsend, die andere bi, bs, b 3 ... mono
ton abnehmend, derart, daß b n —a n nie negativ, aber mit
wachsendem n beliebig klein wird. Zwei solche Folgen haben
einen gemeinsamen Grenzwert. Bachmann weist das nicht
nach, sondern erreicht es wieder durch Definition, indem er
jedes solche Paar von Zahlfolgen als Zahl « definiert, für die
er das Zeichen
einführt.
Unter Übergehung der Weierstraßschen Theorie der Ir
rationalzahlen, die nicht nach seiner eigenen Darstellung, son
dern nur nach der Wiedergabe anderer beurteilt werden
könnte, wenden wir uns noch den Russellschen Ausführun
gen zu.
Wir gehen vom Begriff der Menge aus und definieren: Ein
Element x heißt ein „oberer Limes“ einer Menge a hin
sichtlich einer Beziehung P, wenn 1. a kein Maximum in P
hat, 2. jedes Element von a, das zum Feld von P gehört, dem
x vorangeht, 3, jedes Element des Feldes von P, das dem x
vorangeht, auch irgendeinem Element von a vorangeht.
Ein Element x heißt ein Maximum einer Menge a hin
sichtlich der Beziehung P, wenn x ein Element von a und vom
Feld von P ist und die Beziehung P zu keinem andern Element
von a hat. Die „obere Grenze“ einer Folge von Elementen
ist ihr letztes Glied, wenn ein solches existiert; im andern Fall