BK. 
Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
das erste Element nach allen, wenn ein solches vorhanden ist. 
Wenn es also weder ein Maximum noch einen oberen Limes 
gibt, so gibt es auch keine obere Grenze. 
Entsprechend sind unterer Limes, Minimum und „untere 
Grenze“ zu definieren. 
Bei den vier Klasseneinteilungen, von denen wir anläßlich 
der Schnitte sprachen, hat also in den drei ersten Fällen jede 
der drei Klassen eine Grenze; bei dem vierten Fall existiert 
keine solche Grenze. Man sieht auch sofort, daß im vierten 
Fall die beiden Klassen keinen rationalen Limes besitzen. Das 
Verfahren, hier einfach einen irrationalen Limes zu postu 
lieren, betrachtet Russell als unstatthaft. 
Russell nennt nun die Unterklasse eines Schnitts, wenn 
diese kein Maximum hat, ein „Segment“. Dann ist jedem 
Bruch ein Segment zugeordnet, das aus allen Brüchen besteht, 
die kleiner sind als der entsprechende Bruch; dieser ist ihre 
Grenze. Dagegen besitzen die Segmente, die Irrationalzahlen 
entsprechen, keine Grenze. Gehören zwei Segmente, mit oder 
ohne Grenze, zu einer Reihe, so muß das eine Segment einen 
Teil des anderen bilden. Also können sie alle in eine Reihe ge 
ordnet werden. Aber eine Reihe mit Dedekindschen Lücken, in 
der es Segmente ohne Grenzen gibt, erzeugt mehr Segmente 
als sie Elemente besitzt; denn jedes Element definiert ein 
Segment, dessen Grenze das Element ist; dazu kommen noch 
die Segmente ohne Grenze. Wir definieren nun; 
„Eine reelle Zahl ist ein Segment in der Reihe der nach 
der Größe geordneten Brüche.“ „Eine ,Irrationalzahl' ist ein 
Segment in der Reihe der Brüche, das keine Grenze besitzt.“ 
„Eine nationale reelle Zahl' ist ein Segment in der Reihe der 
Brüche, das eine Grenze besitzt.“ 
Russell meint nun: „In den Fällen, in denen wir naturgemäß 
annahmen, daß eine Irrationalzahl der Limes einer Folge von 
Brüchen sei, ist sie in Wahrheit der Limes der entsprechenden 
Folge von rationalen reellen Zahlen in der Reihe der nach 
Ganzen und Teilen geordneten Segmente. z. B. ist der 
obere Limes all derjenigen Segmente der Reihe der Brüche, 
Betsch. 
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