Fiktionen in der Mathematik
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sieht Natorp in der Form, wie Weierstraß und Cantor die kon
vergente unendliche Reihe selbst als in sich ebenso bestimmtes
mathematisches Gebilde, wie die rationalen Zahlen, allem vor
aus aufstellen und von diesem dann beweisen, wie die Begriffe
gleich, größer, kleiner usw. Anwendung finden. Dasselbe leiste
in vorzüglich durchsichtiger und einfacher Weise Pasch
durch den Begriff der Zahlstrecke.
Es sei überhaupt kein Grund mehr, zwischen der Reihe und
ihrem Grenzwert zu unterscheiden; die Reihe stelle selbst als
in sich bestimmtes Gebilde den neuen Wert dar. Natorp
glaubt, daß so kein Raum mehr für die vorigen Bedenken
bleibe. „Indem die konvergente unendliche Reihe in sich ein
deutig bestimmt und damit zugleich alle Verhältnisse des
Mehr und Weniger zu jedem gegebenen rationalen Wert (sowie
der irrationalen untereinander) bestimmbar sind, ist allem
genügt, was für den rechnerischen Gebrauch des Irrationalen
erforderlich ist“ 435 ). Das in logischer Hinsicht entscheidend
Wichtige aber sei, daß hiermit der Überschritt in eine neue
Wertordnung vollzogen sei.
Man versteht nicht recht, wie Natorp alle die neuern Dar
stellungen der Dedekindschen Schnitttheorie, wie sie sich bei
Holder, Perron u. a. finden und wie wir sie im vorausgehen
den Wiedergaben, übersehen konnte; denn sie leisten gerade
das, was Natorp hier von den Fundamentalreihen, von der
Paschschen Zahlstrecke usw. rühmt, und zwar ohne erst die
Konvergenz von Reihen, d. h. die Existenz eines Grenzwertes,
voraussetzen zu müssen. Aber Natorp hat ein ganz anderes
Ziel im Auge: Er will zeigen, daß es sich beim Irrationalen um
eine transfinite Eigenschaft handle, wir aber sind der Mei
nung, daß zur Definition der Irrationalzahl der Unendlichkeits
begriff nicht notwendig ist. Ob wir mit Pasch die Irrational
zahl als offene Zahlstrecke, oder mit Holder, Perron u. a. als
Schnitt dritter Art definieren, das Entscheidende liegt in
folgendem;
1. Jedes bestimmte Gesetz, das eine Einteilung
aller rationalen Zahlen in zwei Klassen von der bekannten Art