Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
liefert 444 ). In allen diesen Systemen wird durch geeignete 
Festsetzungen hinsichtlich der Anordnung dieser Größen er 
reicht, daß das Archimedische Axiom nicht gilt. Als ein 
spezielles nichtarchimedisches Größensystem können die 
„dualen Zahlen“ betrachtet werden, die von E. Study, C. Segre, 
Grünwald, Blaschke u. a. zu geometrischen Untersuchungen 
verwendet wurden. 
Bei allen diesen höheren Zahlen- und Größensystemen wer 
den die rechnerischen Operationen, abgesehen von den Multi 
plikationsregeln der Einheiten, auf die Arithmetik der reellen 
Zahlen fundiert. 
Wir wenden uns nun wieder der Ausgangsfragestellung zu: 
Mit welchem Recht und in welchem Sinn kann man bei den 
Zahlerweiterungen von Fiktionen reden? Es liegen zwei 
wesentlich verschiedene Voraussetzungen vor, je nachdem wir 
schon in den natürlichen Zahlen Fiktionen sehen oder nicht. 
Wer die natürlichen Zahlen zu den Fiktionen rechnet, für 
den ist die Frage auch hinsichtlich der Zahlerweiterungen 
erledigt, wenn er nicht die Fiktiverklärung hier auf Grund 
anderer Merkmale aussprechen, damit aber verschiedene Fik 
tionstypen unterscheiden will. Daß auch Vaihinger zum Nach 
weis der Fiktivität der Zahlerweiterungen noch besondere 
Argumente ins Feld führte, Avar uns schon früher ein Zeichen 
dafür, daß auch bei ihm der Fiktionsbegriff nicht immer im 
gleichen Sinn zu verstehen ist. Wenn er von unberechtigter 
Übertragung spricht, handelt es sich um den Typus B2. Vai 
hinger behauptet nun allerdings auch, daß diese Begriffsgebilde 
widerspruchsvoll seien; das können wir aber nicht zugeben, 
wenn wir Widerspruch in dem hier allein möglichen Sinn ver 
stehen wollen und nicht als Widerspruch gegen 
eine Voraussetzung, die mit dem Begriff der 
Zahl als solcher nichts zu tun hat. 
Wenn wir nun die natürlichen Zahlen nicht zu den Fiktionen 
zählen, so sehen wir uns vor folgende Fragen gestellt; 
Sind die verschiedenen Zahlerweiterungen so eingeführt, • 
oder lassen sie sich überhaupt so einführen, daß wir in ihnen 
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