293
t ^.
Das Unendlich
r Mathexnati
ganzen System der projektiven Geometrie gar kein Grund zu
der peinlichen Scheidung in eigentliche und uneigentliche
Elemente vorliegt. Wählen wir einen beliebigen, im Endlichen
gelegenen Kegelschnitt, am einfachsten einen Kreis, so existiert
zu jedem Punkt eindeutig eine Polare, zu jeder Geraden ein
Pol. Nehmen wir beides als eine Art komplexes Element zu
sammen, so ist sofort ersichtlich, daß in keinem derartigen
Element gleichzeitig beide Bestandstücke uneigentlich werden
können. Jede Konstruktion mit Punkten und Geraden kann
nun auch mit den dualistischen Elementen, den zugehörigen
Polaren und Polen, ausgeführt werden, so daß ein faktisches
Operieren mit uneigentlichen Elementen überflüssig wird.
Sogar die Beschränkung auf Lagebeziehungen ist nicht er
forderlich. Wir haben bereits im dritten Kapitel gesehen, daß
auch in der projektiven Geometrie Maßbeziehungen aufgestellt
werden können und es ist charakteristisch, daß die dabei auf
tretenden „Grenzpunkte“ im allgemeinen nicht die „uneigent
lichen Punkte“ der Euklidischen Geometrie sind. Das führt
uns vollends zum Kern der ganzen Sache.
Jedes geometrische, überhaupt mathematische System geht
von einer gewissen Gegenstandskategorie aus, die gewissen
Grundannahmen genügen muß; diese können in Form eines
begrenzten Systems von Sätzen (Axiomen), oder in rein ana
lytischen Ausdrücken gegeben sein. Ist das System nun nicht
von vornherein geschlossen, d. h. treten in den Axiomen noch
Grenzfälle auf, denen die Gegenstände der zunächst ein
geführten Kategorie nicht genügen, so können diese Aus
nahmefälle nur beseitigt werden durch Einführung von Grenz
elementen, die eben so zu definieren sind, daß die Grund
annahmen gültig bleiben. Sie machen das System erst zu
einem abgeschlossenen.
Es ist daher ersichtlich, daß diese Grenzelemente nicht in
jedem System dieselben sein müssen; so wird in der Theorie
der komplexen Zahlen die Gesamtheit aller Richtungen als ein
Punkt, als „der unendlichferne Punkt“ der Ebene eingeführt.
Von diesem Standpunkt aus erscheint die Definition durch