Fiktionen in der Mathematik
Axiome, falls sie allgemein durchführbar ist, in einem ganz
neuen Licht, Man braucht dann nicht erst die ursprünglich
gegebene Gegenstandskategorie künstlich zu erweitern unter
Festhaltung der Gültigkeit der Axiome, denn zu der betreffen
den Gegenstandskategorie gehören vornweg alle die Gegen
stände, die das System zu einem abgeschlossenen machen.
Zugleich geht aus den Darlegungen wieder der rein logische
Charakter der mathematischen Schlußweise hervor.
Ob wir bei den hier behandelten uneigentlichen Elementen
von Fiktionen reden können oder nicht, hängt nun wesentlich
davon ab, ob wir für die Aufstellung der Gegenstandskategorie
und der sie beherrschenden Beziehungen den Ausgang von der
Anschauung als notwendig erachten oder nicht. Verlangen wir
für die Aufstellung der Gegenstandskategorie und der Axiome
die Anknüpfung an die Anschauung derart, daß diese Axiome
zunächst nur für die anschaulich gegebenen Gegenstände
gelten, so erscheint die Ausdehnung auf die „uneigentlichen“
Elemente als fiktiv; nicht im Sinn von widerspruchsvoll, da ja
die logischen Beziehungen gewahrt bleiben müssen, aber im
Sinn von unwirklich.
Nehmen wir aber statt der Anschauung ein bestimmtes
Axiomensystem als Ausgangspunkt und definieren durch dieses
implizite die zugehörige Gegenstandskategorie, so haben wir
nachzuweisen, daß das System widerspruchslos ist. Ist dies
der Fall, so sind entweder alle Gegenstände dieser Kategorie
als unwirklich, nur logisch definiert, also als Fiktionen zu be
trachten, oder keine derselben.
Es besteht hier aber auch die Möglichkeit, daß in einem auf
gestellten Axiomensystem zwar kein Widerspruch nach
gewiesen, aber auch keine Gegenstandskategorie aufgewiesen
werden kann, die dem System genügt. In diesem Fall werden
wir mit Recht von Fiktionen reden (Typus A 3 , A«; sowie C 3 , Di).
Wir knüpfen nun wieder an das zu Anfang dieses Kapitels
erörterte Problem der Subsumtion des Kreises unter die
Ellipse an. Vaihinger glaubt, dazu den Begriff des Unend
lich-Kleinen heranziehen zu müssen und bemerkt dann zum
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