Das Unendliche in der Mathematik. Mengenlehre 
Wir haben nun drei Fragen zu beantworten; 
1. Wie gestaltet sich der konstruktive Aufbau? 
2. Wie wird die Behauptung der Widerspruchslosigkeit ge 
faßt? 
3. Welches sind die Mittel der inhaltlichen Überlegung, 
durch die der Nachweis der Widerspruchsfreiheit geführt 
wird? 
Hilbert meint, das abstrakte Operieren mit allgemeinen Be 
griff sumfängen und Inhalten habe sich bei Frege als unsicher 
herausgestellt; als Vorbedingung für die Anwendung logischer 
Schlüsse und die Betätigung logischer Operationen müsse 
schon etwas in der Vorstellung gegeben sein, gewisse 
außerlogische diskrete Objekte, die anschaulich 
als unmittelbares Erlebnis vor allem Denken da sind. 
In der niederen Zahlentheorie handelt es sich 
dann nicht mehr um Axiome, sondern um rein inhalt 
liches Schließen, bei dem keine Widersprüche zu be 
fürchten sind. In der höheren Arithmetik und Algebra treten 
eigentliche F o r m e 1 n auf. Axiome, Formeln und Beweise 
müssen selbst Gegenstand inhaltlicher Untersuchung werden. 
Dazu ist aber vollständige Formalisierung notwendig. Was 
beim elementaren Aufbau die Zahlzeichen, das sind jetzt 
die Axiome, Formeln und Beweise; mit diesen erst 
werden inhaltliche Überlegungen angestellt. 
Zunächst werden verschiedene Arten von Zeichen ein 
geführt, die Regeln des Einsetzens angegeben und Grund 
formeln aufgestellt. Dann werden „Beweise“ gebildet. Ein Be 
weis ist eine konkret hingeschriebene Aufeinanderfolge von 
Formeln, die entweder Grundformeln sein, oder durch erlaubte 
„Schlüsse“ aus solchen hervorgehen müssen. Ein Beweis ist 
also eine Figur mit bestimmten konkreten Eigenschaften. 
Auch der Widerspruch wird formalisiert durch Einführung 
eines bestimmten Zeichens für denselben. 
Elementare Vorstellungen der Reihenfolge und das gewöhn 
liche Zählen werden vorausgesetzt, auch die auf Abgeschlos 
senes und konkret Vorliegendes bezüglichen Formen der voll- 
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