Fiktionen in der Mathematik 
Das 
350 
ständigen Induktion, die höhere Form der Induktion wird erst Zirke 
bewiesen. Dedei 
Durch das Hilbertsche Verfahren sollen so die Probleme und notwe 
Schwierigkeiten, die in der Grundlegung der Mathematik auf- Parac 
treten, aus dem Bereich der Erkenntnistheorie und Philosophie ganze 
in das Gebiet der eigentlichen Mathematik übergeführt werden. Zui 
Für die Neubegründung der Mathematik sind so zwei Ge- langt 
sichtspunkte hervortretend: Das 
1. Alles, was bisher die eigentliche Mathematik Systei 
ausmachte, wird streng formalisiert, so daß diese miteir 
Mathematik zu einem Bestand von beweisbaren Formeln der E 
wird. Schnii 
2. Zur Sicherung dieser eigentlichen Mathematik ist noch m e d i 
eine Art Metamathematik erforderlich, in der das axio 
inhaltliche Schließen zur Anwendung kommt, Dan 
und zwar immer nur zum Nachweis der Widerspruchs- zur Fe 
losigkeit der Axiome. dienen 
Die Entwicklung der mathematischen Wissenschaft schreitet ist vie 
demnach auf doppelte Art fort: gelegt. 
1. Durch Gewinnung neuer beweisbarer Formeln aus den Hilb 
Axiomen durch formales Schließen. tinuun 
2. Durch Hinzufügung neuer Axiome und Nachweis ihrer Begrifl 
Widerspruchsfreiheit mittels inhaltlichen Schließens. schauu 
So wird, wie Hilbert zeigte, der Nachweis der Widerspruchs- dem Bi 
freiheit eines gewissen Axiomensystems möglich. Als wesent- zahl ^ 
lieber Schritt ist dann noch die Anwendbarkeit des Prinzips Zum 
„tertium non datur“ zu erweisen. Erst dann ist die Begrün- „Über c 
düng der Theorie der reellen Zahlen geleistet und die Brücke D, H 
zur Analysis und Mengenlehre geschlagen. tische 
Ob der von Hilbert begonnene Neuaufbau der Grundlagen Analysi 
der Mathematik und seine Beweistheorie schon allen Anfor- Stellung 
derungen genügt, kann hier nicht näher untersucht werden. Diskus^ 
Jedenfalls muß aber bemerkt werden, daß Hilbert den Weyl- zum Al 
sehen Standpunkt den reellen Zahlen gegenüber nicht für lichei 
richtig hält. Er meint, der übliche, von den Mathematikern Das um 
eingenommene Standpunkt weise den von Weyl behaupteten Weierst