88 II Kapitel.. Die gebrochenen Zahlen, insbesondere die gemeinen Brüche. 
sein 1 ), und wir haben zunächst die Aufgabe, zu beweisen, daß bei 
dieser Definition auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten 
wirklich sämtliche Formeln in Kap. I, § 7 B gelten. 
(I) 
a v = y a* -Y ■ n ']/at- n (nach Kap. I, § 8 B, IV) 
l l(Kap. I, § 8 B, I) 
Z- V + f•n 
= a 
= a 1 
1) Wir gelangen zur selben Definition der Potenz mit gebrochenem Expo 
nenten, wenn wir yon der Tatsache ausgehen, daß die aufeinanderfolgenden 
Potenzen einer Zahl a 
a 1 , a 2 , a s , . . . a rn 
eine geometrische Reihe bilden, während die Exponenten 
1, 2, 3, . . . m 
Glieder einer arithmetischen Reihe sind. Zwischen je zwei Glieder der letzteren 
kann man leicht (n — 1) Zahlen so einschalten, daß die Reihe eine arithmetische 
bleibt; 
1,1+—, 1 + — ,...l + üni, 2, 2 + —, 2 +-,...2 + —, 3,... 
w n n ' n' 'n ' n 
Will man auch zwischen die Glieder a\ a~ der geometrischen Reihe n — 1 an 
dere x x , x 2 ,... x n _ 1 so einfügen, daß der Quotient zweier aufeinanderfolgenden 
stets einen und denselben Wert, g, hat, so muß sein; 
x, x 9 
= ~x. 
X . a 2 
2. • • • - 1 = g, 
x n-2 «n-1 
Durch Multiplikation der n Gleichungen ergibt sich: 
a= g ra , 
also: 
n,— 
q = y a. 
Die durch Interpolation entstandene geometrische Reihe heißt demnach: 
a, a y a, a(}/ a)*,... a(j/ a) a 2 ,... 
a, f fZa”**,... a 2 ,.... 
oder 
Sollen auch jetzt die geometrische und die arithmetische Reihe einander in dem 
Sinne entsprechen, daß irgend ein Glied der geometrischen Reihe als Potenz 
von a angesehen werden kann, deren Exponent das zugehörige Glied der arith- 
n+1 n+2 
metischen Reihe ist, so müssen wir unter a n den Wert }/a n + 1 , unter a n 
den Wert y'a n + 2 usw. verstehen. 
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