90 II- Kapitel. Die gebrochenen Zahlen, insbesondere die gemeinen Brüche. 
Wählen wir für n hinreichend große Werte, so können wir also 
i 
erreichen, daß die Differenz a n — 1 beliebig klein wird. 
Ist a < 1, so wird 
wo d n ' durch hinreichend große Werte von n beliebig klein gemacht 
werden kann, nnd folglich 
1 + S n 
7=1 
s: 
1 + S n 
a n bleibt in diesem Falle also stets kleiner als 1, die Differenz 1 — a n 
wird aber für hinreichend große Werte von n beliebig klein. 
Daß auch im Exponenten einer Potenz gleiche Brüche einander 
vertreten können, folgt aus der Formel Kap. I, § 8 B, IV. Ist nämlich 
und 
N 
wo N = v 1 n 1 — v 2 n 2 das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
n y , n 2 bedeutet, so haben wir: 
«i / ■ -V/ 
a n 1 = y a Zi = ya z ^, 
— «2 / N, 
a" 2 = ya ! >= y 
und aus v 2 ergibt sich: 
In all diesen Formeln dürfen die Basen jetzt auch gebrochene 
Zahlen sein, allerdings immer mit der Einschränkung, daß die auf 
tretenden Wurzeln in unserem Zahlenbereiche ausziehbar sind 1 ). 
1) Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind bereits von dem französischen 
Mathematiker (und Bischof) Oresme (um die Mitte des 14. Jahrhunderts) in 
seinem Algorismus proportionum (vgl. Cantor II, S. 128 —137) eingeführt 
worden. Seine Bezeichnungs- und Schreibweise ist naturgemäß etwas anders als 
unsere moderne; dem Wesen nach aber stimmt seine Definition mit der 
unsrigen durchaus überein; auch gibt er bereits die meisten Regeln über die 
Multiplikation und das Potenzieren solcher Potenzen. Es vergingen aber mehr 
als 300 Jahre, nämlich bis etwa zum Erscheinen von Newtons Phüosophiae 
naturalis principia (1687), ehe die gebrochenen Exponenten volles Bürgerrecht