§ 5 B u. C. Potenzen mit gebrochenen Exponenten und Wurzeln. 
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C. Wurzeln. 
Wurzeln mit ganzzahligen Wurzelexponenten können, wie unter 
B gezeigt, als Potenzen aufgefaßt und als solche beim Rechnen behandelt 
werden. Dasselbe gilt auch von Wurzeln mit gebrochenen Wurzelexpo- 
z 
nenten. Unter Y a haben wir nämlich eine solche Zahl x zu ver- 
\te _ t — 
-) Potenz gleich a ist. Aus x n = a folgt aber 
JL n 
x = Ya = a z . 
n 
Wir brauchen also auf das Rechnen mit Wurzeln nicht ausführlich 
einzugehen und heben der späteren Anwendung wegen nur einige 
Punkte besonders hervor. 
I. In B, IV, S. 89 ist die Formel enthalten: 
Man kann also aus einem Bruche die Wurzel ziehen, indem 
in der Arithmetik erlangten. Mathematische Schriftsteller wie der Holländer 
Stevin (L’Arithmétique 1585) und der Engländer Wallis (Arithmetica Infini 
torum 1655) kannten zwar den Begriff der Potenz mit gebrochenem Exponenten, 
machten aber keinen Gebrauch von ihm. Der Grund ist wohl darin zu suchen, 
daß das Schreiben einer Wurzel als Potenz mit Bruchexponenten zunächst 
wenig praktischen Yorteil bot. Multiplikation und Division von Wurzeln mit 
ungleichen Wurzelexponenten, wobei das der Fall gewesen wäre, kamen eben in 
den behandelten Aufgaben nicht gex-ade häufig vor. Warum man zur Ein 
führung der Logarithmen Potenzen mit gebrochenen Exponenten im 17. Jahrhundert 
nicht nötig hatte, werden wir Kap. Y, § 5 A sehen. Erst nach der Erfindung 
der Infinitesimalrechnung, als sich zeigte, daß der Differentialquotient und das 
Integral einer beliebigen Wurzel aus irgend einer Potenz der Yeränderliehen 
besonders leicht, nämlich in derselben Weise wie für die Potenzen mit ganzen 
Exponenten, zu bilden waren, wenn man die Wurzel als Potenz mit gebrochenem 
Exponenten schrieb, sprang der Yorteil der Einführung gebrochener Exponenten 
deutlich in die Augen. Namentlich aber führte die von Newton gewonnene 
Erkenntnis (vgl. den Brief Newtons an Oldenburg vom 24. Oktober 1676, 
Cautor III, S. 69—71), daß, wenn man in die unter Yoraussetzung eines ganz 
zahligen e hergeleitete Entwicklung von (1 -f- x) e für e den Bruch — einsetzt, 
man eine Reibe erhält, deren n te Potenz gleich 1 -f- x ist, die also ]/!-(-# dar- 
stellt, zur allgemeinen Anerkennung der Auffassung einer solchen Wurzel als 
der j Potenz von (1 -)- x). — In der angewandten Mathematik finden neuer 
dings der übersichtlichen Schreibweise wegen die Potenzen mit gebrochenen 
Exponenten vielfache Anwendung zur Angabe der Dimensionen im absoluten 
Maßsystem.