§ 5 C. Wurzeln. 
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Der Rest i2, welcher bei der Rechnung ührigbleibt, ist gleich der 
Differenz 0 — a 2 . Der Vergleich der ganzen Zahlen B und a er 
möglicht es ohne weiteres, C zwischen die Quadrate zweier Zahlen 
einzuschließen, deren Differenz nur \ beträgt. Wenn nämlich B < a, 
;so ist sicher B < a -ff folglich 
deshalb: 
{a -(- -^-) 2 — a 2 -a \ i> a 2 -f- B, 
a 2 < C < (a + i) 2 . 
Wenn aber B > a, also B ¡> a + 1, so ist B > a + folglich 
(a + £) 2 = a 2 -f- a -f £ < a 2 -f- B 
(a + $)*<C<(a+ l) 2 . 
und deshalb: 
Wir können aber sofort weiter gehen und leicht zwei Zahlen 
finden, die sich nur um ~ unterscheiden (wo n eine beliebige ganze 
Zahl bedeutet), und deren Quadrate auch die Zahl C einschließen. 
Denken wir uns die beiden Zahlen als Brüche mit dem Nenner n 
geschrieben und bezeichnen ihre Zähler mit z, bezüglich z -f- 1, so 
müßte sein: 
Diese Ungleichungen sind dann, aber auch nur dann erfüllt, wenn 
z 2 < C • n 2 < (z -f- l) 2 . 
Wir brauchen also das Kap, I, § 10 Gr gelehrte Verfahren nur auf 
die ganze Zahl 0 • n 2 anzuwenden und die gefundenen ganzen Zahlen 
z und z + 1 durch n zu dividieren. 
Beispielsweise findet man für 0=3, n — 12 sofort z = 20, 
so daß 
Auf den besonders wichtigen Fall, daß man für n eine Potenz 
der Grundzahl 10 wählt, gehen wir im nächsten Kapitel noch aus 
führlicher ein. 
Ist 0 eine gemischte Zahl G -j- s, wo G die größte in 0 ent 
haltene ganze Zahl, e also einen echten Bruch bedeutet, so folgen aus 
a 2 < G < (a + l) 2