96 IL Kapitel. Die gebrochenen Zahlen, insbesondere die gemeinen Brüche. 
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D. Logarithmen. 
I. Nach Einführung der gebrochenen Zahlen in die Basis und 
den Exponenten einer Potenz steht auch der Begriff des Logarithmus 
eines Bruches in bezug auf eine Basis, die ein Bruch ist, fest; wir 
bezeichnen y als den Logarithmus von ~ in bezug auf die Basis 
T- wenn (v) ,= v; z - B - ^°(S y — y> weil (4) 8 “|- Da j ede 
(ganze oder gebrochene) Potenz eines echten Bruches wieder ein echter 
Bruch, jede Potenz eines unechten Bruches wieder ein unechter Bruch 
ist, müssen die Brüche ~ und — entweder beide kleiner als 1 oder 
7 b n 
beide größer als 1 sein. Aber auch, wenn diese Bedingung erfüllt 
ist, läßt sich im allgemeinen, d. h. bei beliebig gegebenen Brüchen 
a , z 
-r und —, 
b n 7 
nicht so bestimmen, daß 
Denn bestände diese Gleichung (wobei wir voraussetzen dürfen, daß 
a, h und ebenso z, n relativ prim sind), so würde durch eine leichte 
Umformung folgen 
cd • n q = Jd • zß. 
Weil z und n relativ prim sind, gilt dasselbe auch von zß und n q 
(Kap. I, § 11 A, IVb); nach Kap. I, § 11 A, IY a muß deshalb cd durch 
z q teilbar sein, und weil auch cd und № teilerfremd sind, ist aus 
gleichem Grunde z q durch cd teilbar; d. h. aber cd = zß. Das Be 
stehen einer solchen Gleichung ist aber sicher unmöglich, wenn nicht 
a und z dieselben Primfaktoren besitzen (Kap. I, § 11 C). 
In unserem Zahlenbereiche besitzt also ein beliebiger Numerus 
in bezug auf eine beliebige Basis im allgemeinen keinen Logarithmus. 
In welchem Sinne man aber auch im Gebiete der ganzen und ge 
brochenen Zahlen von Logarithmen sprechen und mit ihnen rechnen 
darf, werden wir Kap. Y, § 5 B ausführlicher erörtern. 
II. Die Gültigkeit der Logarithmenformeln Kap. I, § 8 C, I und II 
für den Fall, daß die Buchstaben Brüche bedeuten, folgt daraus, 
daß die Richtigkeit der Potenzformeln, aus denen sie abgeleitet sind, 
bereits für Brüche bewiesen ist (Abschnitt A und B dieses Paragra 
phen). Zu zeigen ist jetzt nur noch, daß auch in der Formel 
(Kap. I, § 8 C, III) 
(“)log (p r ) = r • Wlog p 
r ein Bruch — sein darf. 
n